Question

Найдите/ [2sin^3(a)-cos(a)]/[cos^3(a)+sin(a)] если tg(a) является одним из корней уравнения 4x^4+9x^2+11x+3=0 -решите систему/ sin(пx-3п/2)< =0 9x-2-2x^2> =x^-1

Answer 1

1. Преобразуем тригонометрическое выражение, поделив и числитель, и знаменатель на cos^(3)x и учтем, что 1/cos^2 x = 1 + tg^2 x:

$\frac{2sin^3a-cosa}{cos^3a+sina}=\frac{2tg^3a-(1+tg^2a)}{1+tga(1+tg^2a)}=\frac{2tg^3a-tg^2a-1}{tg^3a+tga+1}=\frac{2(-\frac{1}{8})-\frac{1}{4}-1}{-\frac{1}{8}-\frac{1}{2}+1}=\ -4$

Мы здесь подставили вместо tga его значение, равное (-1/2).

х=-1/2 - корень уравнения:

$4x^4+9x^2+11x+3=0$

Из анализа левой части видно, что корень надо искать в области отрицательных чисел в промежутке (-1;0). Взяв среднее значение из этого интервала, сразу получили корень (-1/2). Задаваться вопросом о других корнях не будем, так как нам в задаче сказано, что tga является одним из корней приведенного уравнения.

ответ: -4.

2)  Первое неравенство означает что аргумент синуса лежит в нижней половине единичной окружности.  Запишем несколько получившихся интервалов:                    -------------

П<=Пх-3П/2<=2П   или:    2,5<=x<=3,5

-П<=Пх-3П/2<=0  или:      0,5<=x<=1,5

------------------------------ -1,5<=x<=-0,5

                                        -------- и так далее: длина интервала 1, а расстояние между ними -  2.

Теперь рассмотрим второе неравенство. Умножением на х оно разбивается на два:

при х>0: 2x^3-9x^2+2x+1 <=0      при x<0: 2x^3 -9x^2+2x+1>=0

Выражение в левой части раскладывается на множители. Сначала подбором угадывается первый корень х1 = 1/2. Затем делением исходного многочлена на (х-1/2) получим квадр. трехчлен (2x^2-8x-2), который имеет корни: х2 = 2-кор5,  х3 = 2+кор5

  (-)                     (+)                  (-)                      (+)

-------(2-кор5)/////0-----(1/2)///////////(2+кор5)-----

Заштрихованные области - решения данного неравенства.

Теперь проанализируем какие из интервалов первого неравенства отвечают заштрихованным областям (помня, что 2-кор5 примерно = -0,25, а 2+кор5 прим.= 4,25). Видим только один интервал, который и есть решение данной системы: 0,5<=x<=1,5

ответ: [0,5; 1,5].