Question

1) докажите, что при любом натуральном n число 2*7^2n+16^n+8*5^n кратно 11 2) при каких значениях параметра а уравнение (a+1)*x^2-(2a+5)*x+a=0 имеет два действительных корня, больших -1? 3)вычислите: [(sqrt(1-sin^2(153*))+sqrt(tg^2(207*)-sin^2(207*)]*sin(63*)

Answer 1

1. Будем доказывать методом математической индукции.

Проверяем истинность утверждения при n = 1:

а) 2*49 + 16 + 40 = 154 = 11*14  -  делится на 11.

б) Предположим, что 2*7^(2k) + 16^k +8*5^k   - делится на 11. Где k - произвольное натуральное число.

в) Докажем, что тогда при n = k+1 полученное выражение - тоже делится на 11:

$2*7^{2k+2}+16^{k+1}+8*5^{k+1}=49*(2*7^{2k})+16*16^k+5*(8*5^k)=$

$5(2*7^k+16^k+8*5^k)+(44*(2*7^{2k})+11*16^k)$

Теперь четко видно что оба больших слагаемых делятся на 11:

первое - исходя из предположения, второе - имеет 11 как общий сомножитель для своих слагаемых.

Итак мы доказали , что если при произвольном n= k выражение делится на 11, то и при n = k+1 выражение делится на 11.

Значит исходное выражение делится на 11.  что и требовалось доказать.

2)$(a+1)x^2-(2a+5)x+a=0,\ \ \ \ D=4a^2+20a+25-4a^2-4a=16a+25$

D>0    a>-25/16   a>-1,5625

$x_{1}=\frac{2a+5+\sqrt{16a+25}}{2(a+1)}-1$

$x_{2}=\frac{2a+5-\sqrt{16a+25}}{2(a+1)}-1$

Разбиваем ОДЗ на две части:

а) (-1; беск)

$2a+5+\sqrt{16a+25}-2a-2$

$2a+5-\sqrt{16a+25}-2a-2$

$\sqrt{16a+25}-4a-7$

$\sqrt{16a+25}<4a+7$

Первое из написанных неравенств верно. Проверим второе:

16a+25<16a^2+56a+49$16a+25<16a^2+56a+49,\ \ \ \ 16a^2+40a+240,\ \ D=64$

Корни  -1; -1,5   Решение с учетом ОДЗ: (-1; беск)

б) (-1,5625; -1)

${2a+5+\sqrt{16a+25}}<-2a-2$

$2a+5-\sqrt{16a+25}<-2a-2$

$\sqrt{16a+25}<-4a-7$

Правая чать на выбранной области - отрицательна, что недопустимо. Здесь решений нет.

ответ: (-1; бескон).

3.

$[\sqrt{1-sin^2153}+\sqrt{tg^2207-sin^2207}]sin63=[-cos153+\frac{sin^2207}{-cos207}]sin63$

$=[sin63+\frac{cos^263}{sin63}]sin63=sin^263+cos^263=1$

ответ: 1