Воспользуемся формулой разности кубов:
Выносим за скобки общий множитель:
Уравнение распадается на два. Решаем первое:
Почленно разделим на 
:
Решаем второе уравнение:
Заметим в левой части основное тригонометрическое тождество:
Обе части уравнения домножим на 2:
Чтобы в левой части применить формулу синуса двойного угла:
Но так как синус любого угла принимает значения только из отрезка от -1 до 1, то последнее уравнение не имеет решение.
Значит, никаких других корней, кроме найденных ранее, исходное уравнение не имеет.
ответ: 
1.
Если 
, то 
. Но внести под знак корня мы можем только неотрицательный множитель. Тогда, преобразуем следующим образом:
2.
Аналогично, необходимо рассмотреть два случая:
3.
Уточнение. Если условие относится и к двум последним примерам тоже, то для второго примера оно не никак. А для третьего примера на основе него можно сделать вывод, что множитель перед корнем больше числа, стоящего под знаком корня. Но поскольку под корнем стоит заведомо неотрицательное число, то и множитель перед корнем также неотрицателен. Тогда однозначно 
.
4х+1:3=3х-1:х
(4х+1)/3-(3х-1)/х=0
Приведем к общему знаменателю
(х(4х+1)-3(3х-1))/3х=0
Раскроем скобки в числителе
4х²+х-9х+3=0
4х²-8х+3=0
D =64-4*4*3=64-48=16
х₁=(8+4)/8=12/8=4/3=1(1/3)
х₂(8-4)/8=4/8=1/2
ответ: х₁=1(1/3), х₂=1/2
/ это дробная черта