Question

1) доказать , что при каждом натуральном n числе 7^2n-4^2n делится на 33 2) доказать , что справедливо равенство 1/1*5 + 1/5*9 + 1/9*13 + + 1/(4n-3)(4n+1) = n/4n+1 3) решить уравнение (x+3) - (x-5) = x+1

Answer 1

1) надо знать формулы
     a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)                          a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
     a⁴+b⁴=(a+b)(a³-a²b+ab²-b⁴)                a⁴-b⁴=(a-b)(a³+a²b+ab²+b⁴)
   и по аналогии с ними уметь разложить
   $a ^{n}+b ^{n}=(a+b)(a ^{n-1}-a ^{n-2}b.... (-1) ^{n-1}b ^{n-1} )$
$a ^{n}-b ^{n}=(a-b)(a ^{n-1}+a ^{n-2}b.... +b ^{n-1} )$
$7 ^{2n}-4 ^{2n}=(7 ^{n}) ^{2}-(4 ^{n}) ^{2}=(7^{n}-4 ^{n})(7 ^{n}+4 ^{n})= \\ =(7-4)(7 ^{n-1}+7 ^{n-2}\cdot 4+... + 7\cdot4 ^{n-2}+4 ^{n-1})\cdot \\ \cdot(7+4)(7 ^{n-1}-7 ^{n-2}\cdot 4+... + 7\cdot4 ^{n-2}-4 ^{n-1})= \\ =(7-4)(7+4)\cdot F(n)=33\cdot F(n)$
кратно 3
2) Доказательство методом математической индукции состоит из трех шагов
   - проверить выполнение для n = 1
$\frac{1}{1\cdot5}= \frac{1}{1\cdot5}$
-   предположить, что равенство верно для n=k
$\frac{1}{1\cdot 5}+ \frac{1}{5\cdot 9}+ ...+ \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}= \frac{k}{4k+1}$
и используя это равенство, доказать, что и для следующего натурального  числа (k+1) , равенство верно
Т.е докажем, что
  $\frac{1}{1\cdot 5}+ \frac{1}{5\cdot 9}+...+ \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}+ \frac{1}{(4k+1)(4k+5)}= \frac{k+1}{4k+5}$
Для доказательства берем левую часть последнего равенства и заменяем первые k слагаемых на сумму (правую часть предыдущего равенства):
$\frac{1}{1\cdot 5}+ \frac{1}{5\cdot 9}+...+ \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}+ \frac{1}{(4k+1)(4k+5)}=\frac{k}{4k+1}+ \frac{1}{(4k+1)(4k+5)} =$
$= \frac{k(4k+5)+1}{(4k+1)(4k+5)} = \frac{4k ^{2} +5k+1}{(4k+1)(4k+5)}= \frac{(4k+1)(k+1)}{(4k+1)(4k+5)}= \frac{(k+1)}{(4k+5)}$
верно.
Таким образом на основании принципа математической индукции равенство верно для любого натурального n
3)
(x+3) - (x-5) = x+1
x + 3 - x + 5 = x +1
   8 = x + 1
   x = 8 - 1
  x= 7