Question

1. дана функция . а). исследуйте функцию на монотонность и экстремумы. б). найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 10]. 2. составьте уравнение касательной к графику функции , если тангенс угла между касательной и положительным направлением оси абсцисс равен 0,25.

Answer 1

1a.
$y=(8x+1) ^{ \frac{5}{4} } -30x, \\ 8x+1 \geq 0, x \geq - \frac{1}{8}, D_y=[- \frac{1}{8};+\infty);\\ y'=((8x+1) ^{ \frac{5}{4} } -30x)'=10(8x+1) ^{ \frac{1}{4} } -30, \\ y'=0, \frac{5}{4}(8x+1) ^{ \frac{1}{4} } -30=0, \\ (8x+1) ^{ \frac{1}{4} }=3, \\ 8x+1=3^4, \\ x=10; y'\gtrless0, \\ x<10, x\in[- \frac{1}{8};10), y'<0, y\searrow; \\ x10, x\in(10;+\infty), y'0, y\nearrow; \\ x_{min}=10, y_{min}=-57; \\$
1б.
$x\in[0;10], \\ y'=10(8x+1) ^{ \frac{1}{4} } -30, \\ y'=0, x=10;\\ x=0, y=(8\cdot0+1) ^{ \frac{5}{4} } -30\cdot0=1; \\ x=10, y=(8\cdot10+1) ^{ \frac{5}{4} } -30\cdot10=-57; \\ \min \limits_{x\in[0;10]} y =-57, \max \limits_{x\in[0;10]} y =1.$

2.
$y= 3x^{ \frac{1}{3} } -5, tg \alpha=0,25;\\ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0),\\ y'=(3x^{ \frac{1}{3} } -5)'= \frac{1}{x^ \frac{2}{3} }, \\ x=x_0, tg \alpha=k=y_{x_0}', \frac{1}{x_0^ \frac{2}{3} }=0,25, \\ \frac{1}{x_0^ \frac{2}{3} }= \frac{1}{4} ,\\ \frac{1}{x_0^ \frac{1}{3} }= \frac{1}{2} ,\\ x_0^ \frac{1}{3} =2, \\ x_0=2^3, \\ x_0=8, \\ y_{x_0}=3\cdot8^{ \frac{1}{3} } -5=1, \\ y=1+0,25(x-8);\\ y=0,25x-1.$