Question

Постройте график функции. y = cos(x+π/2)-1 (π- числитель, 2 - знаменатель расписать более менее понятно.

Answer 1

y=cos(x+π/2)-1

График этой функции будет выглядеть как косинус х, только он будет опущен на 1 и сдвинут влево на π/2. Это я про то, что можно сдвигать график по осям и строить последовательно, а можно сразу всё найти как я сейчас и сделаю, таким образом просто быстрее искать нули т.д. если ты не помнишь какие нули и экстремумы у обычного косинуса. Найдём всё, что надо для построения и построим.

$y=\cos{(x+\frac{\pi}{2})}-1\\y(0)=\cos{(\frac{\pi}{2})}-1=-1,(0;-1)\\y=\cos{(x+\frac{\pi}{2})}-1=0;(x+\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\\x=2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\\y'=-\sin{(x+\frac{\pi}{2})}\cdot (x+\frac{\pi}{2})'=-\sin{(x+\frac{\pi}{2})}\\y'=0;-\sin{(x+\frac{\pi}{2})}=0;(x+\frac{\pi}{2})=\pi k,k\in \mathbb{Z.}\\x=-\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z.}\\x_{min}=\frac{\pi}{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z.}\\x_{max}=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z.}$

$-1\le \cos{x}\le 1\Rightarrow -1-1\le\cos{(x+\frac{\pi}{2})}-1\le 1-1\\-2\le y\le 0\\y_{min}=-2\\y_{max}=0\\\\y''=(y')'=(-\sin{(x+\frac{\pi}{2})})'=-\cos{(x+\frac{\pi}{2})}\cdot (x+\frac{\pi}{2})'=-\cos{(x+\frac{\pi}{2})}\\y''=0;-\cos{(x+\frac{\pi}{2})}=0;(x+\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.\\x=\pi k,k\in \mathbb{Z}.$

Ордината точки перегиба будут -1 т.к. это косинус и его значение от -2 до 0. У нас есть всё, чтобы построить график, мы знаем что это график косинуса, поэтому нам известно как именно выпукла функция, что у неё есть период и т.д. Кстати период у функции 2π.

Внизу смотри вычисления и график функции.