Question

1. вычислите производную данной функции: а). б). в). г). д). е). ж). з). и). к). л). м). 2. а). найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке x=1. б). найдите скорость изменения функции в точке x=4. в). найдите скорость изменения функции в точке x=9.

Answer 1

1а.
$y= x^{ \frac{5}{6} }+6x, y'=(x^{ \frac{5}{6} }+6x )'=(x^{ \frac{5}{6} })'+6x'=\frac{5}{6}x^{ -\frac{1}{6} }+6=\frac{5}{6x^{ \frac{1}{6} }}+6;$
1б.
$y= \sqrt[5]{ x^{2} }, y'= (\sqrt[5]{ x^{2} })'=(x^{ \frac{2}{5} })'=\frac{2}{5}x^{ -\frac{3}{5} }=\frac{2}{5x^{ \frac{3}{5} }}=\frac{2}{5 \sqrt[5]{x^3} };$
1в.
$y= x^{ -\frac{3}{8} } ( \sqrt{x} -3), y'= (x^{ -\frac{3}{8} } ( \sqrt{x} -3))'= \\ = (x^{ -\frac{3}{8} })' ( \sqrt{x} -3)+x^{ -\frac{3}{8} } ( \sqrt{x} -3)'=-\frac{3}{8}x^{ -\frac{11}{8} }( \sqrt{x} -3)+x^{ -\frac{3}{8} }\cdot \frac{1}{2 \sqrt{x} } = \\ = -\frac{3}{8}x^{ -\frac{11}{8} }( \sqrt{x} -3)+ \frac{1}{2} x^{ -\frac{7}{8} };$
1г.
$y= \sqrt[3]{7-6x}, y'= (\sqrt[3]{7-6x})'=((7-6x)^{\frac{1}{3}})'= \\ = \frac{1}{3}(7-6x)^{-\frac{2}{3}}\cdot(7-6x)'= \frac{1}{3(7-6x)^{\frac{2}{3}}}\cdot(-6)=-\frac{2}{ \sqrt[3]{(7-6x)^2} };$
1д.
$y= x^{ -\frac{4}{7} } - \frac{1}{x} ,y'= (x^{ -\frac{4}{7} } - \frac{1}{x} )'=(x^{ -\frac{4}{7} })' - (\frac{1}{x} )' = -\frac{4}{7}x^{ -\frac{11}{7} } + \frac{1}{x^2};$
1е.
$y= \sqrt[6]{ x^{5} } +4, y'= (\sqrt[6]{ x^{5} } +4)'=(x^ \frac{5}{6} )'= \frac{5}{6} x^{- \frac{1}{6}}= \frac{5}{6 \sqrt[6]{x} } ;$
1ж.
$y= \sqrt[3]{ x^{2} } ( x^{0,75}+1) , y'=(\sqrt[3]{ x^{2} })' ( x^{0,75}+1)+\sqrt[3]{ x^{2} } ( x^{0,75}+1)'= \\ = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3} }( x^{0,75}+1)+\sqrt[3]{ x^{2} } \cdot0,75x^{-0,25}= \\ = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x} } ( x^{0,75}+1)+0,75x^{-0,25}\sqrt[3]{ x^{2} };$
1з.
$y=4(3x-1)^{ \frac{3}{4} } , y'=4((3x-1)^{ \frac{3}{4} } )'=4\cdot \frac{3}{4}(3x-1)^{ -\frac{1}{4} } \cdot(3x-1)'= \\ = \frac{3}{(3x-1)^{ \frac{1}{4} }} \cdot3= \frac{9}{(3x-1)^{ \frac{1}{4} }} ;$
1и.
$y= x^{ -\frac{5}{8} } + \sqrt{x} , y'=-\frac{5}{8}x^{ -\frac{13}{8} } + \frac{1}{2 \sqrt{x} } ;$
1к.
$y= \sqrt[9]{ x^{7} }-7 , y'= \frac{7}{9 \sqrt[9]{x^2} } ;$
1л.
$y= \frac{ \sqrt[5]{ x^{3} } -2}{ x^{0,3} } , y'= \frac{ (\sqrt[5]{ x^{3} } -2)'x^{0,3} - (\sqrt[5]{ x^{3} } -2)(x^{0,3})'}{ (x^{0,3})^2 } = \\ = \frac{ \frac{3}{5\sqrt[5]{ x^{2} }} x^{0,3} -0,3x^{-0,7} (\sqrt[5]{ x^{3} } -2)}{x^{0,6} };$
1м.
$y=0,2(7-4x) ^{ \frac{5}{8} } , y'=0,2\cdot \frac{5}{8} (7-4x) ^{- \frac{3}{8} }\cdot(-4)=- \frac{1}{2(7-4x) ^{ \frac{3}{8} }} ;$
2а.
$y=8 x^{-0,75}+3, x_0=1, \\ y'=8\cdot(-0,75)x^{-1,75}=-6x^{-1,75}, \\ y'_{x_0}=-6\cdot1^{-1,75}=6; \\ k=6.$
2б.
$y= \sqrt[3]{3x-4} , x_0=4, \\ y'= \frac{1}{3 \sqrt[3]{(3x-4)^2} } \cdot3=\frac{1}{ \sqrt[3]{(3x-4)^2} } , \\ y'_{x_0}=\frac{1}{ \sqrt[3]{(3\cdot4-4)^2} }=\frac{1}{ \sqrt[3]{64}}=\frac{1}{ \sqrt[3]{2^6}}=\frac{1}{ 2^3}=\frac{1}{8};$
2в.
$y= \sqrt[4]{(8x+9) ^{3} }, x_0=9, \\ y'= \frac{3}{4\sqrt[4]{8x+9} } \cdot8= \frac{3}{2\sqrt[4]{8x+9} }; \\ y'_{x_0}= \frac{3}{2\sqrt[4]{8\cdot9+9} }=\frac{3}{2\sqrt[4]{(8+1)\cdot9} }=\frac{3}{2\sqrt[4]{9^2} }=\frac{3}{2\sqrt[4]{3^4} }=\frac{3}{2\cdot3 }=\frac{1}{2}.$