Доказать неравенство: а⁴+b⁴ ≥ a³b+ab³ Тут штука такая: надо просто помнить, что если a > b, значит, a - b > 0 Эти 2 неравенства друг без друга "жить не могут". если надо доказать 1-е, надо смотреть 2-е и наоборот. Вот, давай посмотрим: Нам надо доказать ≥. Значит, будем смотреть разность и она должна быть ≥ 0 а⁴+b⁴ - a³b - ab³ = (а⁴ - а³b) + (b⁴ - ab³)= a³(a - b) -b³(a - b) = =(a - b)(a³ - b³) = (a - b)(a - b)(a² +ab +b²) = (a - b)²(a² +ab + b²) - а это выражение всегда ≥ 0 ( первая скобка в квадрате, а во второй скобке сумма квадратов двух чисел всегда > их произведения.) , ⇒ ⇒ а⁴+b⁴ ≥ a³b+ab³
Левая часть неравенства - дробь. Эта дробь по условию > 0 это значит, что и числитель , и знаменатель имеют одинаковые знаки. Короче говоря, нам придётся решать 2 системы неравенств: 3х -1 > 0 или 3x -1 < 0 log₀₎₂₅ x > 0 log₀₎₂₅ x < 0 Решаем: решаем: х > 1/3 х < 1/3 x < 1 х > 1 x > 0 x > 0 решение х∈ (1/3; 1) нет решений
Исследователь на монотонность можно по определению
т.е. если для любых х2 и х1, таких что х2>x1 выполняется неравенство
y2>y1(y2<y1), то функция моннотоно возрастающая(спадная)
или иследовать производную, если для всех х из области М знак производной >0 (<0), то она моннотоно возрастающая(спадная)
ну и в некоторых случаях можно воспользоваться известными свойствами елементарных функций
в данном случае задана линейная функция(т.е. функция вида y=kx+b где - некоторые k, b действительные числа, для нее если
k>0 то функция моннотоно возрастающая
k<0 то функция монотонно спадная
k=0 то функция постоянна)
поскольку k=8>0, то данная функция моннотоно возрастающая