М
Молодежь
К
Компьютеры-и-электроника
Д
Дом-и-сад
С
Стиль-и-уход-за-собой
П
Праздники-и-традиции
Т
Транспорт
П
Путешествия
С
Семейная-жизнь
Ф
Философия-и-религия
Б
Без категории
М
Мир-работы
Х
Хобби-и-рукоделие
И
Искусство-и-развлечения
В
Взаимоотношения
З
Здоровье
К
Кулинария-и-гостеприимство
Ф
Финансы-и-бизнес
П
Питомцы-и-животные
О
Образование
О
Образование-и-коммуникации
Маргарита5515
Маргарита5515
22.01.2020 17:24 •  Алгебра

Cos^2 - sin^2 x/4 = sin (3п/2 - x), x принадлежит [3п; 3п/2]


Cos^2 - sin^2 x/4 = sin (3п/2 - x), x принадлежит [3п; 3п/2]

👇
Ответ:
Dimatrubilov
Dimatrubilov
22.01.2020

\cos^2\dfrac{x}{4} - \sin^2\dfrac{x}{4} = \sin\left(\dfrac{3\pi}{2} - x\right)

В левой части можно применить формулу косинуса двойного угла:

\boxed{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos2\alpha}

В правой части можно заменить по формуле приведения:

\boxed{\sin\left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha}

Тогда уравнение будет выглядеть так:

\cos\dfrac{x}{2} = -\cos x\\
\\
\\
\cos\dfrac{x}{2} + \cos x = 0

Используем формулу суммы косинусов:

\boxed{\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\dfrac{\alpha + \beta}{2}\cdot\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}}

В нашем случае получается:

2\cos\dfrac{\frac{x}{2} + x}{2}\cdot\cos\dfrac{\frac{x}{2} - x}{2} = 0\\
\\
\\
2\cos\dfrac{\frac{3x}{2}}{2}\cdot\cos\dfrac{-\frac{x}{2}}{2} = 0\\
\\
\\
2\cos\dfrac{3x}{4}\cdot \cos\left(-\dfrac{x}{4}\right) = 0\ \ \ \ \ \Big|:2\\
\\
\\
\cos\dfrac{3x}{4}\cdot\cos\left(-\dfrac{x}{4}\right) = 0

Так как  \boldsymbol{\cos\left(-\alpha\right) = \cos\alpha}, то:

\cos\dfrac{3x}{4}\cos\dfrac{x}{4} = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Значит, имеем два варианта:

\left[
\begin{gathered}
\cos\dfrac{3x}{4} = 0\\
\\
\cos\dfrac{x}{4} = 0
\end{gathered}\ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \left[
\begin{gathered}
\dfrac{3x}{4} = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\\
\\
\dfrac{x}{4} = \dfrac{\pi}{2} + \pi k
\end{gathered}\ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \left[
\begin{gathered}
3x = 2\pi + 4\pi k\\
\\
x = 2\pi + 4\pi k
\end{gathered}\ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow

\Leftrightarrow\ \left[
\begin{gathered}
x = \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{4\pi k}{3}\\
\\
x = 2\pi + 4\pi k
\end{gathered}\ \ \ \ \ ,\ \boxed{\boldsymbol{k\in\mathbb{Z}}}

Теперь подбираем корни, которые принадлежат отрезку  \boldsymbol{\left[3\pi;\ \dfrac{9\pi}{2}\right]} . Для этого можно решить двойное неравенство для каждой серии корней.

Для первой серии:

3\pi \leqslant\dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{4\pi k}{3}\leqslant\dfrac{9\pi}{2}\\
\\
\\
3\leqslant\dfrac{2}{3} + \dfrac{4k}{3} \leqslant \dfrac{9}{2}\\
\\
\\
3 - \dfrac{2}{3} \leqslant \dfrac{4k}{3} \leqslant \dfrac{9}{2} - \dfrac{2}{3}\\
\\
\\
\dfrac{7}{3} \leqslant \dfrac{4k}{3} \leqslant \dfrac{23}{6}\\
\\
\\
14\leqslant 8k\leqslant 23\\
\\
\\
\dfrac{7}{4} \leqslant k\leqslant \dfrac{23}{8}\\
\\
\\
\boldsymbol{1\dfrac{3}{4} \leqslant k\leqslant 2\dfrac{7}{8}}

Не забываем, что k - это обязательно целое число. В данном промежутке есть только одно такое: 2. Значит, \boxed{\boldsymbol{k = 2}} . Подставляем это значение в серию корней, для которой мы решали неравенство.

\dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{4\pi \cdot 2}{3} = \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{8\pi}{3} = \boldsymbol{\dfrac{10\pi}{3}}

Одно искомое уже нашли. Теперь тем же самым образом проверим вторую серию корней.

3\pi \leqslant 2\pi + 4\pi k\leqslant \dfrac{9\pi}{2}\\
\\
\\
3\leqslant 2 + 4k\leqslant\dfrac{9}{2}\\
\\
\\
1 \leqslant 4k \leqslant \dfrac{5}{2}\\
\\
\\
\boldsymbol{\dfrac{1}{4} \leqslant k\leqslant \dfrac{5}{8}}

Опять же, учитывая то, что k - целое число, данное неравенство НЕ ИМЕЕТ РЕШЕНИЙ, поскольку в получившемся промежутке нет целых чисел.

Итого мы нашли одно значение, которое одновременно и является корнем уравнения, и входит в промежуток  \left[3\pi;\ \dfrac{9\pi}{2}\right] , а именно \boxed{\boldsymbol{\dfrac{10\pi}{3}}}.

ответ:  \dfrac{10\pi}{3}

4,6(13 оценок)
Открыть все ответы
Ответ:
SlivkO0O154
SlivkO0O154
22.01.2020

Обозначим количество строк, в которых закрашена 1 клетка через a, а количество строк, в которых закрашены 7 клеток через b.

Обозначим количество столбцов, в которых закрашены 3 клетки через c, а количество столбцов, в которых закрашены 4 клетки через d.

Общее количество закрашенных красок N может быть выражено двояко:

N = a + 7b = 3c + 4d

Нам нужно найти min(N)

Имеются следующие ограничения и соотношения на a, b, c и d

a, b, c, d ∈ Z, 0 ≤ a,b,c,d ≤ 130, a + b = 130, c + d = 130

Подставим эти соотношения в равенство для N:

a + 7b = 3c + 4d

(a + b) + 6b = 3(c + d) + d

130 + 6b = 3 * 130 + d

d = 6b - 260

Т.к. 0 ≤ d ≤ 130, то:

0 ≤ 6b - 260 ≤ 130

260 ≤ 6b ≤ 390

43.(3) ≤ b ≤ 65

Т.к. нам нужно найти min(N) = min(a + 7b) = min(130 + 6b), то минимум достигается при минимальном b = 44.

Осталось построить пример, показывающий, что возможна раскраска квадрата 130*130 так, что у него будет раскрашено по 7 клеток в 44 строках, по одной клетке в 86 (130 - 44) строках, по 4 клетки в 4 столбцах (6 * 44 - 260) и по 3 клетки в 126 столбцах (130 - 4), а всего 394 клетки (86 + 7 * 44).

Схема заполнения квадрата показана на рис.1 - будут заполнены только прямоугольники, размеры и расположение которых указаны.

Прямоугольник А будет заполнен так, как указано на рис.2 - 14 блоков каждый размера 3 * 7.

Прямоугольник Б будет заполнен так, как указано на рис.3 - 25 блоков каждый размера 3 * 1.

И наконец прямоугольник В заполнен так, как указано на рис. 3


Вквадрате 130 × 130 закрашено несколько клеток. в каждой строчке есть либо 1, либо 7 закрашенных кле
Вквадрате 130 × 130 закрашено несколько клеток. в каждой строчке есть либо 1, либо 7 закрашенных кле
Вквадрате 130 × 130 закрашено несколько клеток. в каждой строчке есть либо 1, либо 7 закрашенных кле
Вквадрате 130 × 130 закрашено несколько клеток. в каждой строчке есть либо 1, либо 7 закрашенных кле
4,5(17 оценок)
Ответ:
M0N1C4
M0N1C4
22.01.2020

Обозначим количество строк, в которых закрашена 1 клетка через a, а количество строк, в которых закрашены 7 клеток через b.

Обозначим количество столбцов, в которых закрашены 3 клетки через c, а количество столбцов, в которых закрашены 4 клетки через d.

Общее количество закрашенных красок N может быть выражено двояко:

N = a + 7b = 3c + 4d

Нам нужно найти min(N)

Имеются следующие ограничения и соотношения на a, b, c и d

a, b, c, d ∈ Z, 0 ≤ a,b,c,d ≤ 130, a + b = 130, c + d = 130

Подставим эти соотношения в равенство для N:

a + 7b = 3c + 4d

(a + b) + 6b = 3(c + d) + d

130 + 6b = 3 * 130 + d

d = 6b - 260

Т.к. 0 ≤ d ≤ 130, то:

0 ≤ 6b - 260 ≤ 130

260 ≤ 6b ≤ 390

43.(3) ≤ b ≤ 65

Т.к. нам нужно найти min(N) = min(a + 7b) = min(130 + 6b), то минимум достигается при минимальном b = 44.

Осталось построить пример, показывающий, что возможна раскраска квадрата 130*130 так, что у него будет раскрашено по 7 клеток в 44 строках, по одной клетке в 86 (130 - 44) строках, по 4 клетки в 4 столбцах (6 * 44 - 260) и по 3 клетки в 126 столбцах (130 - 4), а всего 394 клетки (86 + 7 * 44).

Схема заполнения квадрата показана на рис.1 - будут заполнены только прямоугольники, размеры и расположение которых указаны.

Прямоугольник А будет заполнен так, как указано на рис.2 - 14 блоков каждый размера 3 * 7.

Прямоугольник Б будет заполнен так, как указано на рис.3 - 25 блоков каждый размера 3 * 1.

И наконец прямоугольник В заполнен так, как указано на рис. 3


Вквадрате 130 × 130 закрашено несколько клеток. в каждой строчке есть либо 1, либо 7 закрашенных кле
Вквадрате 130 × 130 закрашено несколько клеток. в каждой строчке есть либо 1, либо 7 закрашенных кле
Вквадрате 130 × 130 закрашено несколько клеток. в каждой строчке есть либо 1, либо 7 закрашенных кле
Вквадрате 130 × 130 закрашено несколько клеток. в каждой строчке есть либо 1, либо 7 закрашенных кле
4,7(75 оценок)
Это интересно:
Новые ответы от MOGZ: Алгебра
logo
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси Mozg
Открыть лучший ответ