Question

Cos^2 - sin^2 x/4 = sin (3п/2 - x), x принадлежит [3п; 3п/2]

Answer 1

$\cos^2\dfrac{x}{4} - \sin^2\dfrac{x}{4} = \sin\left(\dfrac{3\pi}{2} - x\right)$

В левой части можно применить формулу косинуса двойного угла:

$\boxed{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos2\alpha}$

В правой части можно заменить по формуле приведения:

$\boxed{\sin\left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha}$

Тогда уравнение будет выглядеть так:

$\cos\dfrac{x}{2} = -\cos x\\ \\ \\ \cos\dfrac{x}{2} + \cos x = 0$

Используем формулу суммы косинусов:

$\boxed{\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\dfrac{\alpha + \beta}{2}\cdot\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}}$

В нашем случае получается:

$2\cos\dfrac{\frac{x}{2} + x}{2}\cdot\cos\dfrac{\frac{x}{2} - x}{2} = 0\\ \\ \\ 2\cos\dfrac{\frac{3x}{2}}{2}\cdot\cos\dfrac{-\frac{x}{2}}{2} = 0\\ \\ \\ 2\cos\dfrac{3x}{4}\cdot \cos\left(-\dfrac{x}{4}\right) = 0\ \ \ \ \ \Big|:2\\ \\ \\ \cos\dfrac{3x}{4}\cdot\cos\left(-\dfrac{x}{4}\right) = 0$

Так как  $\boldsymbol{\cos\left(-\alpha\right) = \cos\alpha}$, то:

$\cos\dfrac{3x}{4}\cos\dfrac{x}{4} = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Значит, имеем два варианта:

$\left[ \begin{gathered} \cos\dfrac{3x}{4} = 0\\ \\ \cos\dfrac{x}{4} = 0 \end{gathered}\ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \left[ \begin{gathered} \dfrac{3x}{4} = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\\ \\ \dfrac{x}{4} = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \end{gathered}\ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \left[ \begin{gathered} 3x = 2\pi + 4\pi k\\ \\ x = 2\pi + 4\pi k \end{gathered}\ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\ \left[ \begin{gathered} x = \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{4\pi k}{3}\\ \\ x = 2\pi + 4\pi k \end{gathered}\ \ \ \ \ ,\ \boxed{\boldsymbol{k\in\mathbb{Z}}}$

Теперь подбираем корни, которые принадлежат отрезку  $\boldsymbol{\left[3\pi;\ \dfrac{9\pi}{2}\right]}$ . Для этого можно решить двойное неравенство для каждой серии корней.

Для первой серии:

$3\pi \leqslant\dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{4\pi k}{3}\leqslant\dfrac{9\pi}{2}\\ \\ \\ 3\leqslant\dfrac{2}{3} + \dfrac{4k}{3} \leqslant \dfrac{9}{2}\\ \\ \\ 3 - \dfrac{2}{3} \leqslant \dfrac{4k}{3} \leqslant \dfrac{9}{2} - \dfrac{2}{3}\\ \\ \\ \dfrac{7}{3} \leqslant \dfrac{4k}{3} \leqslant \dfrac{23}{6}\\ \\ \\ 14\leqslant 8k\leqslant 23\\ \\ \\ \dfrac{7}{4} \leqslant k\leqslant \dfrac{23}{8}\\ \\ \\ \boldsymbol{1\dfrac{3}{4} \leqslant k\leqslant 2\dfrac{7}{8}}$

Не забываем, что $k$ - это обязательно целое число. В данном промежутке есть только одно такое: 2. Значит, $\boxed{\boldsymbol{k = 2}}$ . Подставляем это значение в серию корней, для которой мы решали неравенство.

$\dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{4\pi \cdot 2}{3} = \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{8\pi}{3} = \boldsymbol{\dfrac{10\pi}{3}}$

Одно искомое уже нашли. Теперь тем же самым образом проверим вторую серию корней.

$3\pi \leqslant 2\pi + 4\pi k\leqslant \dfrac{9\pi}{2}\\ \\ \\ 3\leqslant 2 + 4k\leqslant\dfrac{9}{2}\\ \\ \\ 1 \leqslant 4k \leqslant \dfrac{5}{2}\\ \\ \\ \boldsymbol{\dfrac{1}{4} \leqslant k\leqslant \dfrac{5}{8}}$

Опять же, учитывая то, что $k$ - целое число, данное неравенство НЕ ИМЕЕТ РЕШЕНИЙ, поскольку в получившемся промежутке нет целых чисел.

Итого мы нашли одно значение, которое одновременно и является корнем уравнения, и входит в промежуток  $\left[3\pi;\ \dfrac{9\pi}{2}\right]$ , а именно $\boxed{\boldsymbol{\dfrac{10\pi}{3}}}$.

ответ:  $\dfrac{10\pi}{3}$