Question

Исследования функции у=х2-1 написать 7 пунктов исследования. !

Answer 1

1. Область определения функции (-бесконечность; 3) и (3;бесконечность)
2. Множество значений функции (-бесконечность2] [10; бесконечность)
3. Проверим является ли данная функция четной или нечетной:
у (х) = (x^2-5)/(х-3)
y(-х) = (x^2-5)/(-х-3) так как у (х) не =у (-х) , и у (-х) не=-у (х) , то данная функция не является ни четной ни нечетной.
4. Найдем промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума.
y'(x) = (x^2-6x+5)/(x-3)^2; y'(x) = 0
(x^2-6x+5)/(x-3)^2=0
x^2-6x+5=0
х1=5; х2=1.
Данные стационарные точки и точка разрыва, разбили числовую прямую на 4 промежутка
Так как на промежутках (1;3) и (3;5) производная отрицательна, то на этих промежутках функция убывает
Так как на промежутках (-бесконечность; 1) и (2;бесконечность) производная положительна, то на этих прмежутках функция возрастает.
х=5 точка минимума, у (5) = 10
х=1 точка максимума, у (1) = 2
5. Найдем точки перегиба функции и промежутки выпуклости:
y"(x) = 8/(х-3)^3; y"(x)=0
8/(х-3)^3=0
уравнение не имеет корней.
Так как на промежутке (3;бесконечность) вторая производная положительна, то график направлен выпуклостью вниз
Так ак на промежутке (-бесконечность; 3) вторая производная отрицательна то график направлен выпуклостью вверх.
Точек перегиба функция не имеет.
6. Проверим имеет ли график функции асмптоты:
а) вертикальные: Для этого найдем односторонние пределы в точке разрыва х=3
lim(x стремится к 3 по недостатку) ((x^2-5)/(х-3)=-бесконечность
lim(x стремится к 3 по избытку) ((x^2-5)/(х-3)=бесконечность
Следовательно прямая х=3 является вертикальной асимптотой.
б) налонные вида у=кх+в:
к=lim y(x)/x = lim(x стремится к бесконечности) ((x^2-5)/(х (х-3))=1
в = lim (y(x)-kx) = lim ((x^2-5)/(х-3)-х) =lim(3x-5)/(x-3)=3
Cледовательно прямая у=х+3 является наклонной асимптотой.
7. все строй график. Удачи!!