Question

Определить три числа, являющихся последовательными членами прогрессии, если их сумма равна 21, а сумма обратных величин равна 7/12

Answer 1

Примем за х первый член из искомой группы, за к - коэффициент прогрессии.
Условие сумма обратных величин равна 7/12 можно записать:$\frac{1}{x} + \frac{1}{kx} + \frac{1}{k^2x} = \frac{7}{12}$.
Приведя к общему знаменателю, получим:
$\frac{k^2+k+1}{k^2x} = \frac{7}{12}$.
Имеем две равные дроби, значит, числители и знаменатели их равны между собой.
к² + к + 1 = 7
Квадратное уравнение к² + к - 6 = 07, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=1^2-4*1*(-6)=1-4*(-6)=1-(-4*6)=1-(-24)=1+24=25;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
к_1=(√25-1)/(2*1)=(5-1)/2=4/2=2;
к_2=(-√25-1)/(2*1)=(-5-1)/2=-6/2=-3.
к²х = 12     х = 12 / к²
х₁ = 12 / 4 = 3
х₂ = 12 / 9 = 4 / 3.
Получили 4 последовательности:
1) 3, 6, 12               их сумма равна 21,
2) 3, 4, 16/3            их сумма не равна 21,
3) 4/3, 8/3, 16/3      их сумма не равна 21,
4) 4/3, -12/3, 12      их сумма не равна 21.
Условию задачи отвечает 1 вариант.