㏒₆(108-36х)>log₆ (x²-11x+24) + log₆ (x+4) ;ОДЗ уравнения ищем из системы неравенств 108-36x >0; x² -11x +24>0; x+4>0; Решение первого есть х<3; второе разложим на множители (х-8)(х-3)>0, найдя предварительно по теореме, обратной теореме Виета корни кв. трехчлена. это 3 и 8, и решим это неравенство методом интервалов. 38
+ - +
х∈(-∞;3)∪(8;+∞), решение третьего условия х∈(-4;+∞). Окончательно ОДЗ неравенства х∈(-4;3), а решением неравенства, (поскольку основание логарифма больше 1), ищем из условия -36(x-3)>(x-8)(x-3)(x+4)
36(x-3)+(x-8)(x-3)(x+4)<0; (х-3)*(36+(х-8)(х+4))<0; (х-3)*(36+(х-8)(х+4))<0;
(х-3)*(36+х²+4х-8х+32)<0; (х-3)(х²-4х+4)<0; (х-3)(х-2)²<0; __23
Решаем неравенство методом интервалов, - - +
Решением будет (-∞;2)∪(2;3), а с учетом ОДЗ решение исходного неравенства запишем в виде (-4;2)∪(2;3).
ответ (-4;2)∪(2;3)
log(6) (108 - 36x) > log (6) (x^2 - 11x + 24) + log (6) (x+4)
log(a) b ОДЗ a>0 b>0 a≠1
итак ищем ОДЗ тело логарифма больше 0
1. 108 - 36x > 0 x < 3
2. x^2 - 11x + 24 > 0
D = 121 - 96 = 25
x12=(11+-5)/2=8 3
(х - 3)(х - 8) > 0
x∈ (-∞ 3) U (8 +∞)
3. x + 4 > 0 x > -4
ОДЗ x∈(-4 3)
log(6) (108 - 36x) > log (6) (x^2 - 11x + 24)*(x+4)
так как основание логарифма больше 1, знак не меняется
108 - 36x > (x - 3)(x - 8)(x + 4)
36(3 - х) > (x - 3)(x - 8)(x + 4)
36(х - 3) + (x - 3)(x - 8)(x + 4) < 0
(x - 3)(x² - 4x - 32 + 36) < 0
(x - 3)(x² - 4x + 4) < 0
(x - 2)²(x - 3) < 0
применяем метод интервалов
(2)(3)
x ∈(-∞ 2) U (2 3) пересекаем с ОДЗ x∈(-4 3)
ответ x∈(-4 2) U (2 3)