Question

Исследовать функцию и построить её график

Answer 1

1) D(y)=(-∞;+∞)
2) y`=(3x²-2x+1)`=6x-2
3)y`=0
   6x-2=0
   6x=2
   x=1/3- точка возможного экстремума
Исследуем на экстремум, проверим применение достаточного условия. Если при переходе через точку, в которой производная  обращается в 0 ( стационарная точка. иногда называют критической), производная меняет знак, то есть экстремум
               -                      +
(1/3)
Убедились, что в точке х=1/3 функция имеет минимум.
у(min)=y(1/3)=3·(1/9)-2·(1/9)+1=8/9
4) нули функции
     3х²-2х+1=0
   D=(-2)²-4·3·1=4-12=-8<0
Уравнение не имеет решений, значит парабола не пересекает ось ох
 Ветви параболы направлены вверх
5) Парабола пересекает ось ох в точке (0;1)
6) Дополнительные точки
   (0;2)
   (-1;6)
   (2;9)
   (3;22)
   (-2;17)

Answer 2

У предыдущего автора есть ошибка в определении точки экстремума.
Точка пересечения графика функции с осью координат Y:График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в 3*x^2-2*x+1. 
Результат: y=1. Точка: (0, 1)Точки пересечения графика функции с осью координат X:График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:3*x^2-2*x+1 = 0Решаем это уравнение  и его корни будут точками пересечения с X:
Нету корней, значит график функции не пересекает ось XЭкстремумы функции:Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:y'=6*x - 2=0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:x=1/3 = 0.333333333333333. у = 3*(1/9)-2*(1/3)+1 =2/3Точка: (0.333333333333333, 0.666666666666667)Интервалы возрастания и убывания функции:Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:0.333333333333333Максимумов у функции нетуВозрастает на промежутках: [0.333333333333333, oo)Убывает на промежутках: (-oo, 0.333333333333333]Точки перегибов графика функции:Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции, 
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y''=6=0
 Нет Вертикальные асимптоты Нет Горизонтальные асимптоты графика функции:Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим :lim 3*x^2-2*x+1, x->+oo = oo, значит горизонтальной асимптоты справа не существуетlim 3*x^2-2*x+1, x->-oo = oo, значит горизонтальной асимптоты слева не существуетНаклонные асимптоты графика функции:Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы :lim 3*x^2-2*x+1/x, x->+oo = oo, значит наклонной асимптоты справа не существуетlim 3*x^2-2*x+1/x, x->-oo = -oo, значит наклонной асимптоты слева не существуетЧетность и нечетность функции:Проверим функци четна или нечетна с соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:3*x^2-2*x+1 = 3*x^2 + 2*x + 1 - Нет3*x^2-2*x+1 = -(3*x^2 + 2*x + 1) - Нетзначит, функция не является ни четной ни нечетной