Question

Перший член послідовності =2,другий 3.починаючи з другого члена,всі елементи на 1 менший від добутку попереднього та наступного членів.чому дорівнює сума перших 2003 членів цієї послідовності?

Answer 1

$a_1=2; a_2=3; a_{n-1}=a_{n-2} a_{n}-1 : n\geq2; a_n=\frac{a_{n-1}+1}{a_{n-2}}; a_3=\frac{3+1}{2}=2; a_4=\frac {2+1}{3}=1; a_5=\frac {1+1}{2}=1; a_6=\frac {1+1}{1}=2; a_7=\frac {2+1}{1}=3; a_8=\frac {3+1}{2}=2; a_9=\frac {2+1}{3}=1;$

Как видим данная последовательность периодична с периодом 5

$(a_1=a_6=2; a_2=a_7=3; a_3=a_8=2; a_4=a_9=1;)$

так як 2003=2000+3=400*5+3

то S[2003]=401*2+401*3+401*2+400*1+400*1=400*(2+3+2)+(2+3+2)+400*(1+1)=400*(2+3+2+1+1)+(2+3+2)=400*9+7=3607