Для нахождения локального максимума функции, найдём её стационарные точки, точки недифференцируемости и выясним поведение функции в некоторой окрестности данных точек.
Вычислим первую производную функции: [применяем правило (u+v)'=u'+v'] [применяем правило (c)'=0, где c=const] [применяем правило (uv)'=u'v+uv'] [используем , ∀n∈] Найдём отдельно производную сложной функции (x-5)^2: [по правилам (f(u(x)))'=f'(u(x))*u'(x) и (x^m)'=m*x^(m-1)] Подставим найденное значение в :
Приравняем производную к нулю и найдём стационарные точки, точки недифференцируемости: Отсюда x=5;3 - стационарные точки. Точек недифференцируемости нет.
Рассмотрим первую стационарную точку x=5. При x↑ производная меняет знак с "-" на "+" => x=5 - точка локального минимума функции. Теперь рассмотрим стационарную точку x=3. При x↑ производная меняет знак с "+" на "-" => x=3 - точка локального максимума функции.
, ∀n∈
]
:
+ - +
-------------(0)---------------(7)--------------------
//////////////// ///////////////////
ответ: