Question

Решить 1) найдите координаты и длину вектора a если a = 1/3b - c, b{3; -9}, c{-6; 2} 2) даны координаты вершин параллелограмма abcd; a(-6; 1), b(0; 5), c(6; -4), d(0; -8). докажите, что abcd - прямоугольник и дайте координаты точке пересечения его диагоналей о

Answer 1

$1)\overrightarrow {a}=\{ \frac{1}{3}\cdot3-(-6);\frac{1}{3}\cdot(-9)-2\} =\{1+6;-3-2\}=\{7;-5\}$
$2)\overrightarrow {AB}=\{0-(-6);5-1\} =\{6;4\}, \\ \overrightarrow {DC}=\{6-0;-4-(-8)\} =\{6;4\}$
  Векторы равны, так как равны их координаты. И векторы одинаково направлены.
  Противоположные стороны равны и параллельны. Доказано, что АВСD- параллелограмм
$\overrightarrow {BC}=\{6-0;-4-5\} =\{6;-9\}, \\ \overrightarrow {BC}\cdot \overrightarrow {CD}=6\cdot6+4\cdot(-9)=0$
Векторы $\ \overrightarrow {BC}$  и  $\overrightarrow {CD}$ортогональны, но значит  и векторы
$\overrightarrow {BC}$ и$\overrightarrow {AB}$ ортогональны
$\overrightarrow {AD}=\{0-(-6);-8-(-1)\} =\{6;-9\}, \\ \overrightarrow {CD}\cdot \overrightarrow {AD}=6\cdot6+4\cdot(-9)=0$
Векторы$\ \overrightarrow {CD}$  и$\overrightarrow {AD}$ ортогональны,
Доказано, что в параллелограмме три угла по 90°, но значит и четвертый угол тоже 90°, так как сумма углов четырехугольника равна 90°

$x_O= \frac{x_A+x_C}{2}= \frac{-6+6}{2}=0 \\y_O= \frac{y_A+y_C}{2}= \frac{1-4}{2}=- \frac{3}{2} ,$