Найдем сумму первых 
натуральных чисел по формуле сумме первых членов арифметической прогрессии:
Рассмотрим числитель дроби: 
- произведение двух подряд идущих натуральных чисел, значит одно из них четное, а другое нечетное. Если четное число делится только на 2, но не делится на 4, то при вычислении значения дроби множитель "2" сократится и получившийся результат будет нечетным. Если четное число делится хотя бы на 4, то при вычислении значения дроби один множитель "2" сократится, но еще как минимум один множитель "2" останется и результат будет четным.
Итак, для четного результата сложения необходимо, чтобы хотя бы один из множителей произведения делился на 4.
1 случай: делится на 4 (или же можно сказать, что при делении на 4 дает остаток 0).
2 случай: 
делится на 4, тогда при делении на 4 дает остаток 3.
Если эти условия не выполняются, то результат сложения будет нечетным. То есть, можно сказать, что это происходит, когда при делении на 4 дает остаток 1 или 2.
ответ: четный результат - когда при делении на 4 дает в остатке 0 или 3; нечетный результат - когда при делении на 4 дает в остатке 1 или 2.
2)8m²+8mn-6mn+12n²=20m²+2mn