Постройте график функции: а)y=x^2-4 б)y=-x^2+1 для каждой функции укажите промежуток возрастания и промежуток убывания,а также наибольшее (или наименьшее) значение.

👇

Ответ:

Вероникапривет

23.05.2021

Первый график - парабола ветвями вверх, смещённая на 4 вниз по оси OY.
Возрастает при x>0, убывает при x<0. Наименьшее значение при x=0 y=-4.

Второй график - парабола ветвями вниз, смещённая на 1 вверх по оси OY.
Возрастает при x<0, убывает при x>0. Наибольшее значение при x=0 y=1

4,6(40 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

reginа111222333

23.05.2021

а) y = -x²- 8x + 2

Найти производную
а) y^1 = (-x^2- 8x + 2 )^1 = -2x - 8

Приравнять производную к нулю и найти х, это будет точка экстремума
-2x - 8 = 0
2x = -8
x = -4

Функция y = -x²- 8x + 2 - квадратичная парабола, ветки направлены вниз, Значит, в точке x = -4 будет максимум.

б) y = 15 + 48x - x³
Найти производную

y^1 = (15 + 48x - x^3)^1 = 48 - 3x^2

Приравнять производную к нулю
$48 - 3x^2 = 0 \\ x^2 = 16 \\ x=б4$

Дальше можно через знак производной, либо через соседние точки

x = 4 Подставить в исходную функцию, а затем соседнее значение
$y = 15 + 48*4 - 4^3 = 15 +192 - 64 = 143 \\ x = 5 \\ y = 15 + 48*5 - 5^3 = 130$
Т.к. y(5) < y(4), значит функция y = -x²- 8x + 2 на интервале х∈[4; +∞) убывает, точка х = 4 является максимумом.

x = -4
$y = 15 + 48*(-4) - (-4)^3= 15 - 192 + 64 = -113 \\ x = -5 \\ y = 15 + 48*(-5) - (-5)^3= 15 - 240 +125 = -100$

Т.к. y(-5) > y(-4), значит функция y = -x²- 8x + 2 на интервале
х∈(-∞;-4] убывает, точка х = -4 является минимумом.

Найдите критические точки функции. определите, какие из них являются точками максимума, а какие – то

Найдите критические точки функции. определите, какие из них являются точками максимума, а какие – то

4,8(88 оценок)

Ответ:

aveter256

23.05.2021

Сделаем замену: x=y+1

$x^4-4x^3+12x^2-24x+24=\\
(y+1)^4-4(y+1)^3+12(y+1)^2-24(y+1)+24=\\
=...=y^4+6y^2-8y+9=(y^2+3)^2-8y$

Рассмотрим, как ведут себя функции: f_1(y)=(y^2+3)^2

--------------------------
первая - параболического типа, монотонно убывает на промежутке $(-\infty;0]$ и монотонно растет на промежутке $[0;+\infty;0)$
вершина: (0;9)

для любого значения

из промежутка $(-\infty;0]$ выражение (y^2+3)^2-8y

принимает положительные значения, так как вторая функция - монотонно растущая и при значении y=0

достигает лишь нуля, в то время, как вторая функция в принципе не принимает значений меньших за

.

Осталось разобраться с промежутком положительных чисел.
Для этого будем анализировать скорости роста обеих функций (их производные)
f_1'(y)=[(y^2+3)^2]'=2(y^2+3)(y^2+3)'=2(y^2+3)(2y)=4y^3+12y

f_1'(y)=[(y^2+3)^2]'=2(y^2+3)(y^2+3)'=2(y^2+3)(2y)=4y^3+12y

Как видим, скорость роста второй функции постоянна, при увеличении у-ка на 1, функция f_2(y)

прибывает на 8
Вторая же функция, скорость её изменения на интерсном нам интервале: $[0;+\infty)$ положительна, и уже при y=1

равна: $f_1'(1)=4*1^3+12*1\ \textgreater \ 8$ (и дльше только растет) т.е, первая функция после y=1

гарантированно растет быстрее чем вторая, при чем на момент y=1

вторая функция не успела догнать первую: $f_1(1)=(1^2+3)^2=16\ \textgreater \ f_2(1)=8*1=8$

Это и означает, что выражение (y^2+3)^2-8y

принимает исключительно положительные значения, и исходное неравенство действительных решений не имеет.
-----------------------------------------------------

Решите неравенство: x^4-4x^3+12x^2-24x+24< 0