Question

Решите ! уравнения 1)25^х-120*5^х-1 -25=0 2)7*2^х+1 +5*2^х-3 =468

Answer 1

$1)25^{x}-120\cdot 5^{x-1} -25=0$
так как
$5^{x-1}=5^{x}\cdot 5 ^{-1}= \frac{5 ^{x} }{5}$
уравнение принимает вид:
$25^{x}-24\cdot 5^{x} -25=0$
Замена переменной
$5 ^{x}=t, \\ 25 ^{x}=(5 ^{2}) ^{x}=(5 ^{x}) ^{2} =t^{2}$
t >0
Решаем квадратное уравнение:
t²-24t-25=0
D=(-24)²-4·(-25)=576+100=676=26²
t=(24-26)/2=-1  не    или      t=(24+26)/2=25
удовлетворяет условию
t>0
$5 ^{x} =25 \\ 5 ^{x} =5x^{2}$
x=2
ответ. 2
$2)7\cdot 2^{x+1} +5\cdot 2^{x-3} =468$
Выносим  за скобки 2 в меньшей степени:
$2^{x-3}\cdot(7\cdot 2^{(x+1)-(x-3)} +5) =468 \\ 2^{x-3}\cdot(7\cdot 2^{4} +5) =468 \\ 2^{x-3}\cdot(7\cdot 2^{4} +5) =468 \\ 2^{x-3}\cdot(7\cdot 16 +5) =468 \\ 2^{x-3}\cdot117 =468 \\2^{x-3} =4 \\ 2^{x-3} =2 ^{2}$
Показательная функция с основанием 2 строго возрастающая, каждое свое значение принимает только в одной точке, поэтому если значения функции равны, то и аргументы равны:
х-3=2
х=5
ответ. 5