На доске выписаны все целые числа от 1 до n. сеня почитал, сколько всего цифр выписано. оказалось, что это число записывается теми же цифрами, что и n, но в обратном направлении. найдите n если оно трёхзначное.
От 1 до 9 - 9 цифр. От 10 до 99 - 90 двузначных чисел, то есть 90*2 = 180 цифр. От 100 до n - ровно n - 99 трехзначных чисел, то есть 3(n-99) = 3(n-100+1) цифр. Пусть число n записывается как 100a+10b+c, тогда количество цифр 9 + 180 + 3(100a+10b+c-100+1) = 100c + 10b + a 100*(3a+1-3) + 10*(3b+8) + (9+3c+3) = 100c + 10b + a 100*(3a-2) + 10*(3b+8) + (3c+12) = 100c + 10b + a Перенесем 10 из числа 12 в десятки 100*(3a-2) + 10*(3b+9) + (3c+2) = 100c + 10b + a
Очевидно, что: 1) 3c + 2 = a, или 10+а, или 20+а (максимум 3*9+2 = 29) 2) 3b + 9 (+1 или +2) = 10+b, или 20+b, или 30+b (максимум 3*9+11 = 38) 3) 3a - 2 + 1 (+1 или +2) = с
Из 2) число 3b + 9, или 3b + 10, или 3b + 11 кончается на b. а) 3b+9 кончается на b. Не может быть. 3*0+9=9, 3*1+9=12, ..., 3*9+9=36 Ни в одном случае та же цифра не получается. б) 3b+10 кончается на b. b = 0 (3*0+10=10) или 5 (3*5+10=25). Значит, из единиц в десятки перенос 1. 3c + 2 = 10 + a в) 3b+11 кончается на b. Не может быть. 3*0+11=11, 3*1+11=14, ..., 3*9+11=38
Из 3) получаем такие варианты: а) Если b=0, то в сотни перенос 1. 3a-2+1 = 3a-1 = c - однозначное число Пары (a, c) = (1, 2), (2, 5), (3, 8) б) Если b=5, то в сотни перенос 2. 3a-2+2 = 3a = c - однозначное число Пары (a, c) = (1, 3), (2, 6), (3, 9)
Из 1) получаем один вариант: 3c + 2 = 10 + a Пары (a, c) = (1, 3), (4, 4), (7, 5) Подходит только пара a = 1, c = 3, она из пункта 3) б). Значит, b = 5. ответ: n = 153. Количество цифр 9+180+54*3 = 189+162 = 351. Все правильно.
Вот решение. Пусть есть такой треугольник. Тогда можно вокруг него дорисовать прямоугольник так. (Сетку дорисуйте сами так, чтобы вешины треуг. были в точках пересечения линий клеток. Нарисуйте на клетчатой бумаге) Площадь клетки есть 1(единица). Тогда площадь нашего треугольника будет "площадь прямоугольника минус площади дополнительных треугольников". Площадь прямоугольника - натуральное число. Площадь любого доп. треугольника будет "основание * высоту /2" И если либо основание, либо высота - четное, тогда площадь - натуральное. Если нечетное- тогда в знаменателе 2. А сумма, разность натуральных с дробными со знаменателем 2 дает дробное со знаменателем 2, а никак не 4. Вот и все.
Не все. Надо рассмотреть два случая. Вокруг треугольника можно описать прямоугольник со сторонами параллельными осям координат( границам клеток). Тогда площадь прямоугольника минус площади прямоугольных треугольников - площадь нашего треугольника. Второй случай , когда этого сделать нельзя. Тогда прямоугольник надо провести так, чтобы большая сторона треугольника была диагональю ( вершины треугольника в углах прямоугольника), третья вершина внутри прямоугольника. Тогда из площади большого прямоугольника надо вычесть три треугольника( прямоугольных) и один прямоугольник. Но вывод, естественно, тот же.
От 10 до 99 - 90 двузначных чисел, то есть 90*2 = 180 цифр.
От 100 до n - ровно n - 99 трехзначных чисел, то есть 3(n-99) = 3(n-100+1) цифр.
Пусть число n записывается как 100a+10b+c, тогда количество цифр
9 + 180 + 3(100a+10b+c-100+1) = 100c + 10b + a
100*(3a+1-3) + 10*(3b+8) + (9+3c+3) = 100c + 10b + a
100*(3a-2) + 10*(3b+8) + (3c+12) = 100c + 10b + a
Перенесем 10 из числа 12 в десятки
100*(3a-2) + 10*(3b+9) + (3c+2) = 100c + 10b + a
Очевидно, что:
1) 3c + 2 = a, или 10+а, или 20+а (максимум 3*9+2 = 29)
2) 3b + 9 (+1 или +2) = 10+b, или 20+b, или 30+b (максимум 3*9+11 = 38)
3) 3a - 2 + 1 (+1 или +2) = с
Из 2) число 3b + 9, или 3b + 10, или 3b + 11 кончается на b.
а) 3b+9 кончается на b. Не может быть. 3*0+9=9, 3*1+9=12, ..., 3*9+9=36
Ни в одном случае та же цифра не получается.
б) 3b+10 кончается на b. b = 0 (3*0+10=10) или 5 (3*5+10=25).
Значит, из единиц в десятки перенос 1. 3c + 2 = 10 + a
в) 3b+11 кончается на b. Не может быть. 3*0+11=11, 3*1+11=14, ..., 3*9+11=38
Из 3) получаем такие варианты:
а) Если b=0, то в сотни перенос 1. 3a-2+1 = 3a-1 = c - однозначное число
Пары (a, c) = (1, 2), (2, 5), (3, 8)
б) Если b=5, то в сотни перенос 2. 3a-2+2 = 3a = c - однозначное число
Пары (a, c) = (1, 3), (2, 6), (3, 9)
Из 1) получаем один вариант:
3c + 2 = 10 + a
Пары (a, c) = (1, 3), (4, 4), (7, 5)
Подходит только пара a = 1, c = 3, она из пункта 3) б). Значит, b = 5.
ответ: n = 153. Количество цифр 9+180+54*3 = 189+162 = 351.
Все правильно.