Question

Пусть a+b+c=1 и a, b, c > 0. найдите минимум a²+2b²+c².

Answer 1

 
 $a+b+c=1\\$ , из известных неравенств ,   $a^2+b^2 \geq 2ab\\ b^2+c^2 \geq 2bc\\$ суммируем 
 $a^2+2b^2+c^2 \geq 2ab+2bc$  можно сделать вывод что при $a=c$   $a^2+2b^2+c^2$ и достигает наименьшего значения 
 $a^2+2b^2+c^2 \geq 4ab\\ 2a^2+2b^2 \geq 4ab\\ 2a+b=1\\ \\ a^2+2b^2+c^2 \geq 2a^2+2(1-2a)^2$ 
 Рассмотрим функцию 
  $f(a)=2a^2+2(1-2a)^2\\ f(a)=10a^2-8a+2\\ 100\\$  это график параболы ,  и ее ветви направлены вверх  относительно оси $OY$ 
  По известной формуле $f_{min} = \frac{8}{2*10} = \frac{2}{5}$ 
 ответ  наименьшее значение функций равно $f_{min}=\frac{2}{5}$,ооно достигается при $a=c=\frac{2}{5}\\ b=\frac{1}{5}$