ax² + bx + c = 0
D = b² - 4ac
x12 = (-b +- √D)/2a
D - это дискриминант
х12 - корни квадратного уравнения
+- это плюс минус
1
3x²+8x-21 = 3(x + (-4 - √79)/3)*(x + (-4 + √79)/3)
для разложения надо найти корни
D = 8² - 4*3*(-21) = 64 + 252 = 316
x12 = (-8 +- √316)/6 = (-4 +- √79)/3
2
5x²-4x+c=0
D = 16 - 20c = 0
16 - 20c = 0
20c = 16
c = 16/20 = 4/5
x12 = (4 + - 0)/10 = 4/10 = 2/5
корень 2/5
3
5x²-11 |x|-12=0
x² = |x|²
|x| вседа больше равен 0
5|x|²-11 |x|-12=0
D = 11² + 4*5*12 = 361 = 19²
|x| = (11 +- 19)/10 = 3 и -8/10
-8/10 < 0 не подходит
|x| = 3
x = 3
x = -3
ответ -3 и 3
(x^2 - 2x)^2 - (a+2)(x^2 - 2x) + (3a-3) = 0
Замена x^2 - 2x = y
y^2 - (a+2)y + (3a-3) = 0
Если у исходного уравнения 4 корня, то у этого должно быть 2 корня.
При этом у каждого из уравнений x^2 - 2x = y1 и x^2 - 2x = y2 тоже должно быть по 2 корня.
D = (a+2)^2 - 4(3a-3) = a^2 + 4a + 4 - 12a + 12 = a^2 - 8a + 16 = (a-4)^2
При любом а, кроме 4, это уравнение имеет 2 корня.
y1 = (a+2-a+4)/2 = 6/2 = 3
y2 = (a+2+a-4)/2 = (2a-2)/2 = a-1
Обратная замена
1) x^2 - 2x = 3
x^2 - 2x - 3 = 0
(x + 1)(x - 3) = 0
x1 = -1; x2 = 3
2) x^2 - 2x = a-1
x^2 - 2x + 1 - a = 0
D = 4 - 4(1-a) = 4 - 4 + 4a = 4a
x3 = (2 - 2√a)/2 = 1 - √a
x4 = (2 + 2√a)/2 = 1 + √a
При a < 0 корней x3 и x4 вообще нет, то есть всего 2 корня.
При а = 0 будет x3 = x4 = 1, то есть всего 3 корня.
При a > 0, но при a ≠ 4, будет 2 корня x3 и x4.
3) Рассмотрим варианты, когда x3 = x1; x3 = x2; x4 = x1; x4 = x2.
1 - √a = -1; √a = 2; a = 4 - не может быть, тогда уравнение с у имеет 1 корень.
1 - √a = 3; √a = -2 - не может быть, корень арифметический, то есть неотрицательный.
1 + √a = -1; √a = -2 - не может быть, корень арифметический, то есть неотрицательный.
1 + √a = 3; √a = 2; a = 4 - не может быть, тогда уравнение с у имеет 1 корень.
ответ: a ∈ (0; 4) U (4; +oo)
x= - корень из (5), x=-1, x=1, x=корень из (5)