2sin(x)cos(x) = (-корень из 3 / 3)(cos^2(x)) + (корень из 3 / 3)(1 - cos^2(x)).
Получим:
2sin(x)cos(x) = (-корень из 3 / 3)(cos^2(x)) + (корень из 3 / 3) - (корень из 3 / 3)(cos^2(x)).
Соберем слагаемые:
2sin(x)cos(x) = (корень из 3 / 3) - (корень из 3 / 3)(cos^2(x)).
Шаг 5: Сокращаем
Сократим (корень из 3 / 3) из каждой части уравнения:
2sin(x)cos(x) / (корень из 3 / 3) = 1 - cos^2(x).
Перевернем делитель и умножим:
(2sin(x)cos(x))(3 / корень из 3) = 1 - cos^2(x).
Умножим (2sin(x)cos(x))(3 / корень из 3):
6sin(x)cos(x) / корень из 3 = 1 - cos^2(x).
Шаг 6: Приводим к квадратному уравнению
Перепишем наше уравнение в форме квадратного уравнения:
1 - cos^2(x) - 6sin(x)cos(x) / корень из 3 = 0.
Шаг 7: Решаем квадратное уравнение
Данное уравнение является квадратным уравнением относительно переменной cos(x). Решим его с помощью стандартной процедуры нахождения корней:
1 - cos^2(x) - 6sin(x)cos(x) / корень из 3 = 0.
Перепишем в другом виде:
cos^2(x) + 6sin(x)cos(x) / корень из 3 - 1 = 0.
Перепишем 6sin(x)cos(x) / корень из 3 в виде 2sin(x)cos(x) / (корень из 3 / 3), чтобы сделать выражение более читаемым:
Мы должны учесть, что tg(x) = sin(x) / cos(x). В исходном уравнении у нас уже есть значение для tg2x, поэтому мы можем найти sin(2x) и cos(2x), зная соотношение tg2x = sin(2x) / cos(2x). Подставим значение -корень из 3 / 3:
sin(2x) / cos(2x) = -корень из 3 / 3.
Упростим его:
sin(2x) = -корень из 3 / 3 * cos(2x).
Теперь мы можем подставить найденное значение для cos(x) в это уравнение:
sin(2x) = -корень из 3 / 3 * [-sin(x) ± √(sin^2(x) - корень из 3 / 3)].
Шаг 10: Решаем уравнение
У нас осталось уравнение, где переменной является sin(x). Решим его с помощью стандартной процедуры:
sin(2x) = -корень из 3 / 3 * [-sin(x) ± √(sin^2(x) - корень из 3 / 3)].
Используя формулу тригонометрического тангента и разбивая на два уравнения (для каждого решения членов с "+/-"), мы получим:
sin(2x) = -корень из 3 / 3 * [-sin(x) ± √(sin^2(x) - корень из 3 / 3)].
Упростим:
sin(2x) = -корень из 3 / 3 * -sin(x) ± (корень из 3 / 3) * √(sin^2(x) - корень из 3 / 3).
Мы можем переписать это уравнение в двух вариантах:
1) sin(2x) = sin(x) * корень из 3 / 3 + (корень из 3 / 3) * √(sin^2(x) - корень из 3 / 3).
2) sin(2x) = -sin(x) * корень из 3 / 3 - (корень из 3 / 3) * √(sin^2(x) - корень из 3 / 3).
Теперь мы можем решить каждое из этих уравнений отдельно, используя свойства тригонометрии и стандартные методы решения тригонометрических уравнений.