Question

Решить уравнения 1) 3 tg^2x+ctg^2x=4 2) 7sin^2x+cos^2x=5sinx

Answer 1

$3 tg^2x+ctg^2x=4 \\\ 3 tg^2x+ \frac{1}{tg^2x} -4 =0 \\\ 3 tg^4x -4tg^2x+1 =0 \\\ D_1=(-2)^2-3=1 \\\ tg^2x= \frac{2+1}{3} =1; \ tgx=\pm1; \ x=\pm \frac{ \pi }{4} +\pi n, n\in Z \\\ tg^2x= \frac{2-1}{3} = \frac{1}{3} ; \ tgx=\pm \frac{ \sqrt{3} }{3} ; \ x=\pm \frac{ \pi }{6} +\pi k, k\in Z$
ответ: $\pm \frac{ \pi }{4} +\pi n$ и $\pm \frac{ \pi }{6} +\pi k$, где n и k - целые числа

$7\sin^2x+\cos^2x=5\sin x \\\ 7\sin^2x+1-\sin^2x-5\sin x=0 \\\ 6\sin^2x-5\sin x+1=0 \\\ D=5^2-4\cdot6=1 \\\ \sin x= \frac{5+1}{12} = \frac{1}{2} ; \ x=(-1)^k \frac{ \pi }{6} + \pi k, k\in Z \\\ \sin x= \frac{5-1}{12} = \frac{1}{3} ; \ x=(-1)^n \arcsin\frac{ 1 }{3} + \pi n, n\in Z$
ответ: $(-1)^k \frac{ \pi }{6} + \pi k$ и $(-1)^n \arcsin\frac{ 1 }{3} + \pi n$, где n и k - целые числа