Законы распределения, числовые характеристики нсв1. известно, что размер деталей, поступающих на конвейер автозавода, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с ожиданием 10 мм и средним квадратическим отклонением 2 мм. деталь будет являться стандартной, если ее размер находится в допустимом интервале (5 мм; 20 мм). найти вероятность, того, что на автомобиль была установлена нестандартная деталь.2. цена деления шкалы измерительного прибора равна 5. показания прибора округляют до ближайшего деления. найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) не меньше 0,2; б) в пределах от 1 до 2.3.время, необходимое для оформления договора, является случайной величиной, распределенной по показательному закону с параметром λ=0,5. найти вероятность того, что оформление договора займет не менее 2 часов, найти среднее время оформления договора.
1. Чтобы найти вероятность того, что будет установлена нестандартная деталь, нам нужно определить вероятность того, что размер детали будет находиться за пределами допустимого интервала (5 мм; 20 мм). Для этого мы будем использовать правило трех сигм.
Согласно нормальному закону распределения, 99,7% значений лежат в пределах трех средних квадратических отклонений от среднего значения. Таким образом, мы можем сказать, что вероятность того, что деталь будет нестандартной, равна разности между 1 и вероятностью того, что деталь будет находиться в пределах трех сигм от среднего значения.
Для данной задачи, среднее значение (μ) равно 10 мм, а среднее квадратическое отклонение (σ) равно 2 мм. Таким образом, трех сигм будут 6 мм (2 * 3).
Чтобы найти вероятность попадания в пределы трех сигм, нам нужно найти вероятность попадания в интервал (4 мм; 16 мм)
P(4 < X < 16) = P((4-10)/2 < (X - 10)/2 < (16-10)/2) = P(-3 < Z < 3),
где Z - стандартизованная случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение.
Для нахождения вероятности мы можем использовать табличное значение или калькулятор стандартного нормального распределения.
P(-3 < Z < 3) = P(Z < 3) - P(Z < -3) ≈ 0.9987 - 0.0013 ≈ 0.9974
Таким образом, вероятность попадания в пределы трех сигм равна приблизительно 0.9974.
Вероятность того, что на автомобиль будет установлена нестандартная деталь, равна разности между 1 и этой вероятностью:
P(нестандартная деталь) = 1 - 0.9974 ≈ 0.0026
Таким образом, вероятность установки нестандартной детали составляет приблизительно 0.0026, или 0.26%.
2. Для нахождения вероятности совершения ошибки при отсчете, мы должны разделить размер одного деления на два, так как мы ищем вероятность попадания в половину деления.
а) Для того, чтобы найти вероятность ошибки не меньше 0,2, мы должны найти вероятность попадания в половину деления 0,2 и больше. Используя нормальное распределение, мы можем найти вероятность, используя Z-таблицы или калькулятор.
Для этого случая мы должны определить разницу между двумя значениями стандартного нормального распределения: P(Z > 0.2) - P(Z < -0.2) ≈ 0.4207 - 0.0793 ≈ 0.3414
Таким образом, вероятность совершения ошибки не меньше 0,2 составляет приблизительно 0.3414, или 34.14%.
б) Для того, чтобы найти вероятность ошибки в пределах от 1 до 2, мы должны найти вероятность попадания в половину деления от 1 до 2 включительно. Используя нормальное распределение, мы можем найти вероятность, используя Z-таблицы или калькулятор.
Для этого случая мы должны определить разницу между двумя значениями стандартного нормального распределения: P(Z > 2) - P(Z < 1) ≈ 0.0228 - 0.1587 ≈ 0.1359
Таким образом, вероятность совершения ошибки в пределах от 1 до 2 составляет приблизительно 0.1359, или 13.59%.
3. Для нахождения вероятности того, что оформление договора займет не менее 2 часов, нам нужно использовать функцию распределения показательного закона распределения.
P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2).
Функция распределения показательного закона распределения определяется следующим образом: F(x) = 1 - e^(-λx), где λ - параметр показательного закона распределения.
Для данной задачи параметр λ равен 0,5, так что функция распределения будет выглядеть следующим образом:
F(x) = 1 - e^(-0,5x).
Таким образом, чтобы найти вероятность того, что оформление договора займет не менее 2 часов, мы должны вычислить следующее:
P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - F(2) = 1 - (1 - e^(-0,5 * 2)) = e^(-1) ≈ 0,3679.
Таким образом, вероятность того, что оформление договора займет не менее 2 часов, составляет приблизительно 0,3679, или 36,79%.
Чтобы найти среднее время оформления договора, мы можем использовать среднее значение показательного закона распределения, которое равно 1/λ.
В данной задаче, λ = 0,5, поэтому среднее время (μ) будет равно:
μ = 1/λ = 1/0,5 = 2 часа.
Таким образом, среднее время оформления договора равно 2 часам.
Вот такое подробное решение по каждой задаче. Надеюсь, это поможет вам лучше понять данные концепции и улучшить знания математики. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!