Question

Найдите наименьшее значения произведения p=cosx*cosy*cos(x+y)

Answer 1

$P=cosx*cosy*cos(x+y)\\$
Рассмторим треугольник $a,b,c$ ,  положим что он существует 
Впишем углы $x;y$ 
По теореме косинусов выразим углы 
$cosy=\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}\\ cosx=\frac{b^2-a^2-c^2}{-2ac}\\$ 
$cos(x+y)=\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}$ 
$\frac{1}{8}*\frac{(c^2-a^2-b^2)(b^2-a^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)}{a^2b^2c^2}$  
То есть надо найти такое число , если оно существует , что
$\frac{(c^2-a^2-b^2)(b^2-a^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)}{a^2b^2c^2}$    
является дробной числом,то есть переходим к нахождению минимального значения этой дроби . 
 Теперь  
 по неравенству о средних  
 $\frac{(c^2-a^2-b^2)(b^2-a^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)}{11} =$$\frac{a^6+b^6+c^6+a^4(-b^2-c^2)+b^4(-a^2-c^2)+c^4(-a^2-b^2)+a^2b^2c^2+a^2b^2c^2}{11}\geq$$\sqrt[11]{a^{22}*b^{22}*c^{22}}=-a^2b^2c^2$ 
 то есть получим 
$min \frac{1}{8}*-1=-\frac{1}{8}$ , причем выполняется тогда когда $a=b=c$

Answer 2

Преобразуем функцию:
P=cosx*cosy*cos(x+y)=1/2* (сos(x+y) +cos(x-y))*cos(x+y)=
1/2*(cos^2(x+y)+cos(x+y)*cos(x-y))=1/4*( (cos(2x+2y)+1+cos(2y)+cos(2x))
Возьмем  производную  по  x и  приравняем  к нулю:
-1/2*(sin(2x+2y)+sin(2x))=0
sin(2x+2y)+sin2x=0
sin(2x+y)*siny=0
Очевидно  что  минимум  будет когда:
sin(2x+y)=0
2x+y=π*n
y=π*n-2x (Тк  функция симметричная то рассматривать  производную по у не  имеет смысла)
Это  минимум функции при  произвольно взятой  константе y. То  чтобы найти наименьшее значение всей функции,нужно найти наименьшее из наименьших значений при  разных y.
И  так  подставляя  наш результат в исходную функцию  применив формулы приведения  получим:
P=1/4*(1+cos2x+cos(-2x+π*n)+cos(-x+π*n))=
1/4*(1+2*cos(2x)+cos(4x))=1/4*(1+2*cos(2x)+2*cos^2(2x)-1)=
1/2*(cos^2(2x)+cos(2x))
пусть : сos(2x)=w |w|<=1
P=1/2*(w^2+w)
w^2+w-парабола  с вершина  wв=-1/2  |w|<1 (верно)  значит  в этой  точке и будет минимум   тк ветви идут вверх.
Откуда: min(P)=1/2*(1/4-1/2)=-1/8
ответ:-1/8