Из пунктов a и b, расстояние между которыми 350 км, одновременно на встречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через 2 ч 20 мин. с какой скоростью двигался каждый автомобиль, если скорость одного из них на 30 км/ч больше скорости другого?
Так как равенство (1) верно при любых значениях a и b, то оно является тождеством. Это тождество называется формулой куба суммы. Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 5y 3 и 2z , то опять получится тождество.
(5y 3+2z) 3 = 125y 9+150y 6z +60y 3z 2+8z 3 . (2)
Поэтому формула куба суммы читается так:
куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, плюс куб второго выражения.
При любых значениях a и b верно равенство
(a−b) 3 = a 3−3a 2b+3ab 2−b 3 . (3)
Доказательство.
(a−b) 3 = (a−b)(a 2−2ab+b 2) =
= a 3−2a 2b+ab 2 − a 2b+2ab 2−b 3 =
= a 3−3a 2b+3ab 2−b 3
Так как равенство (3) верно при любых значениях a и b, то оно является тождеством. Это тождество называется формулой куба разности. Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 5y 3 и 2z , то опять получится тождество.
(5y 3−2z) 3 = 125y 9−150y 6z +60y 3z 2−8z 3 . (4)
Поэтому формула куба разности читается так:
куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго, плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго, минус куб второго выражения.
пусть х км/ч скорость первого автомобиля, тогда
(х+30) км/ч - скорость второго автомобиля.
По условию известно, что расстояние между пунктами 350 км, и автомобили встретились через 2 ч 20 мин = 2 1/3 = 7/3ч , получим уравнение:
7х/3 + 7/3(х+30) = 350
7х/3 + 7х/3 + 70 = 350
14х/3 = 350 - 70
14х/3 = 280
х = 280 : 14/3
х = 60
60 км/ч - скорость первого автомобиля
60 + 30 = 90 км/ч - скорость второго автомобиля