Добрый день! Для начала разберемся с уравнением log7(2cos^2 x+3cosx−1)=0.
а) Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от логарифма. Для этого воспользуемся определением логарифма:
log7(2cos^2 x+3cosx−1) = 0
7^0 = 2cos^2 x + 3cosx - 1
1 = 2cos^2 x + 3cosx - 1
Сократим уравнение:
2cos^2 x + 3cosx = 0
Теперь сделаем замену: cosx = t
2t^2 + 3t = 0
Теперь разложим на множители:
t(2t + 3) = 0
Таким образом, получаем две возможные ситуации:
1) t = 0
2) 2t + 3 = 0
Если t = 0, то получаем cosx = 0. Решая это уравнение, получаем два возможных значения для x: x1 = π/2 и x2 = 3π/2, так как cosx = 0 при этих значениях.
Если 2t + 3 = 0, то t = -3/2. Подставляя это в уравнение cosx = t, получаем cosx = -3/2. Однако это невозможное значение для cosx, поэтому отбрасываем его.
Итак, решение уравнения log7(2cos^2 x+3cosx−1)=0 состоит из двух значений для x: x1 = π/2 и x2 = 3π/2.
б) Теперь найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−7π/2; −2π].
Для начала заметим, что x1 = π/2 не принадлежит данному отрезку, так как π/2 > -2π.
Остается рассмотреть x2 = 3π/2. Проверим, принадлежит ли оно отрезку [−7π/2; −2π].
-7π/2 < 3π/2 < -2π
Таким образом, x2 = 3π/2 принадлежит отрезку [−7π/2; −2π].
Итак, все корни уравнения log7(2cos^2 x+3cosx−1)=0, принадлежащие отрезку [−7π/2; −2π], это только x = 3π/2.
Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять решение данного уравнения. Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать их.
Для решения данного уравнения, нам необходимо использовать знания о ряде Фурье и тригонометрических функциях. Пошаговое решение будет следующим:
1. Заметим, что данное уравнение является суммой бесконечного ряда. Мы можем использовать свойство суммирования бесконечных рядов, если докажем, что ряд сходится. Для этого воспользуемся рядом Дирихле.
2. По ряду Дирихле, сумма бесконечного ряда вида (−1)^(n−1) cos(nx) сходится, если функция f(x) монотонно убывает или возрастает на [0, π], и она имеет период 2π.
3. У нас имеется последовательность функций (−1)^(n−1) cos(nx), где n - натуральное число. Давайте проанализируем ее поведение. Если увеличивать значение n, то у нас будут чередоваться положительные и отрицательные значения. Поскольку функция cos(nx) имеет период 2π, то последовательность (−1)^(n−1) cos(nx) будет менять свое значение каждые 2π/n. В результате, она будет менять свое значение очень быстро.
4. Теперь вернемся к исходному уравнению и посмотрим на каждый его элемент. Поскольку каждый элемент является суммой последовательности функций (−1)^(n−1) cos(nx), то он будет принимать значение 0 в большинстве своих точек. То есть, у нас имеется большое количество нулей.
5. Однако, вопрос говорит, что сумма всех элементов равна 3. Это означает, что нижнее значение корня находится выше оси OX, и у нас увеличение значения при каждом шаге. Поэтому, мы выбираем корень, который больше или равен 0, но меньше π.
6. У нас есть несколько возможных значений корня, так как у нас могут быть несколько точек, где r(x) = 3. Возможные значения корня могут быть вычислены путем построения графика и нахождения точек пересечения с линией y = 3.
7. Чтобы найти точки пересечения, нам нужно знать значения cos(x), cos(2x), cos(3x), и так далее. Мы можем использовать разложение в ряд Фурье функции f(x) = x на отрезке [0, π]. Развивая данную функцию в ряд Фурье, мы получим бесконечную сумму, в которой будут только coс(nx) при n - нечетное число. Таким образом, у нас будут только нечетные значения. Теперь нам нужно найти значения cos(nx) при n - нечетное число.
8. Для этого мы можем использовать тригонометрические тождества для cos(nx). Например, cos(3x) = cos(x + x + x) = cos(x) cos(x) cos(x) − sin(x) sin(x) cos(x), и так далее. Наша задача - найти значения cos(nx) и sin(x) на отрезке [0, π].
9. Окончательно, мы можем построить график и найти точки пересечения с линией y = 3. Возможные решения будут значениями корней уравнения.
Надеюсь, данное пошаговое решение поможет понять школьнику процесс решения данного уравнения.
