Question

Решить дифф. уравнение первого порядка

Answer 1

Заданное дифференциальное уравнение - линейное дифф. уравнение 1 порядка относительно функции "х(у)",  а  "у" - переменная.

$(y+2)dx=(2x+y-4)dy\\\\\frac{dx}{dy}=\frac{2x+y-4}{y+2}\; ,\; \; x'=\frac{2x}{y+2}+\frac{y-4}{y+2}\\\\x'-\frac{2x}{y+2}=\frac{y-4}{y+2}\; \; ,\\\\x=x(y)\; ,\; \; x=uv\; ,\; \; x'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'-\frac{2uv}{y+2}=\frac{y-4}{y+2}\\\\u'v+u\cdot (v'-\frac{2v}{y+2})= \frac{y-4}{y+2}\\\\a)\; \; \frac{dv}{dy}=\frac{2v}{y+2}\; ,\; \; \int \frac{dv}{v}=2\int \frac{dy}{y+2}\; ,\; \; ln|v|=2\cdot ln|y+2|\; ,\\\\v=(y+2)^2\\\\b)\; \; u'\cdot (y+2)^2=\frac{y-4}{y+2}\; ,\\\\\int du=\int \frac{y-4}{(y+2)^3}\, dy$

$\int \frac{y-4}{(y+2)^3}\, dy=[\; t=y+2\; ,\; \; y=t-2\; ,\; \; dy=dt\; ]=\int \frac{t-6}{t^3}, dt=\\\\=\int (\frac{1}{t^2}-\frac{6}{t^3})\, dt=\frac{t^{-1}}{-1}-\frac{6t^{-2}}{-2}+C=-\frac{1}{t}+\frac{3}{t^2}+C=-\frac{1}{y+2}+\frac{3}{(y+2)^2}+C\\\\u=-\frac{1}{y+2}+\frac{3}{(y+2)^2}+C\\\\c)\; \; x=(y+2)^2\cdot (-\frac{1}{y+2}+\frac{3}{(y+2)^2}+C)\\\\x=-(y+2)+3+C\, (y+2)^2\\\\\underline {x=1-y+C\, (y+2)^2}$