Question

Решить тригонометрические уравнение. sin^12x+cos^5x=1 (синус в двенадцатой степени икс плюс косинус в пятой степени икс равно единице)

Answer 1

так как для любого действительного х: $|sin x| \leq 1; |cos x| \leq 1$

то

$sin^{12} x \leq sin^2 x; cos^5 x \leq cos^2 x$

поэтому $sin^{12} x+cos^5 x \leq sin^2 x+cos^2 x=1$

причем равенство достигается только тогда когда

$sin^{12} x=sin^2 x$ а $cos^5 x=cos^2 x$

$(sin^{10} x-1)sin^2 x=0$ а $(cos^3 x-1)cos^2 x=0$

откуда из первого sin x=1 V sin x=-1 V sin x=0

со второго cos x=1 или cos x=0

учитывая, что когда sin x=1 V sin x=-1 то cos x=0 (по основному тригонометрическому тождеству) а когда cos x=1 то sin x=0, по модулю одновременно они не могут быть равными 1, то

решениями будут

ответ: $\frac{\pi}{2}+2*\pi*n$ n є Z $\pi+2*pi*k$; k є Z