Question

Максимально подробно объясните как исследовать функцию на монотонность

Answer 1

1. Найти производную функции.
2. Приравнять производную нулю и найти критические точки.
3. Полученные точки образуют интервалы. Вычисляем знак производной на каждом интервале. Если на всё интервале производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна - убывает.

Пример:
Исследовать интервалы монотонности функции $f(x)=x^3-4x^2-16x+17$
$f'(x)=3x^2-8x-16\\3x^2-8x-16=0\\D=64+4\cdot3\cdot16=256=(16)^2\\x_{1,2}=\frac{8\pm16}6\\x_1=-1\frac13,\;x_2=4$
Получаем 3 интервала: $\left(-\infty;\;-1\frac13\right),\;\left(-1\frac13;\;4\right)\;u\;(4;\;+\infty)$
Подставляем по одному "иксу" из каждого интервала и находим знак производной.
$x=-2\Rightarrow f'(x)=3\cdot(-2)^2-8\cdot(-2)-16=12+16-16=120\\x=0\Rightarrow f'(x)=-16$
Функция возрастает при $x\in(-\infty;\;-1\frac13)\cup(4;\;+\infty)$ и убывает при $x\in\left(-1\frac13;\;4\right)$