Question

Найдите точки экстремума функции y=x^2e^x

Answer 1

Вычислим производную функции по формуле производной произведения

$(uv)'=u'v-uv'$

$y'=(x^2e^x)'=(x^2)'\cdot e^x+x^2\cdot(e^x)'=2xe^x+x^2e^x=xe^x(2+x)$

Теперь приравниваем производную функции к нулю

$xe^x(2+x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$x_1=0\\ e^x=0$

Уравнение решений не имеет, так как левая часть уравнения принимает только положительные значения.

$2+x=0~~~\Rightarrow~~~ x_2=-2$

____+_____(-2)__-____(0)_____+_____

     $\nearrow$                        $\searrow$                     $\nearrow$

Производная функции в точке х=-2 меняет знак с (+) на (-), следовательно, х=-2 - локальный максимум, а в точке х=0 производная функции меняет знак с (-) на (+), следовательно, x=0 - локальный минимум