Question

Просто составить уравнение всех касательных к графику функции y = проходящих через начало координат.

Answer 1

Уравнение касательной: $Y=y(a)+y'(a)*(x-a)$, где а - абсцисса точки касания
Т.к. касательная проходит через начало координат, то Y(0)=0

$y(a)= \frac{a+9}{a+5}$
$y'= \frac{(x+9)'*(x+5)-(x+9)(x+5)'}{(x+5)^{2}}=\frac{x+5-(x+9)}{(x+5)^{2}}=\frac{x+5-x-9}{(x+5)^{2}}=-\frac{4}{(x+5)^{2}}$
$y'(a)=-\frac{4}{(a+5)^{2}}$

$Y=\frac{a+9}{a+5}-\frac{4}{(a+5)^{2}}*(x-a)=\frac{(a+9)(a+5)-4(x-a)}{(a+5)^{2}}=\frac{(a^{2}+14a+45)-4x+4a}{(a+5)^{2}}=\frac{a^{2}+18a+45-4x}{(a+5)^{2}}$
Подставим в выражение x=0, Y=0 и решим уравнение:
$\frac{a^{2}+18a+45}{(a+5)^{2}}=0$
$a^{2}+18a+45=0, D=144=12^{2}$
$a_{1}= \frac{-18-12}{2}=-15$
$a_{2}= \frac{-18+12}{2}=-3$

Получается две касательных, проходящих через абсциссы -15 и -3:
$Y(-3)=\frac{(-3)^{2}-18*3+45-4x}{(-3+5)^{2}}=\frac{9-54+45-4x}{4}=\frac{-4x}{4}=-x$
$Y(-15)=\frac{(-15)^{2}-18*15+45-4x}{(-15+5)^{2}}=\frac{225-270+45-4x}{100}=-\frac{x}{25}$