Question

∛(3-x) +√(6+x)=3, найти сумму корней

Answer 1

$\sqrt[3]{3-x} + \sqrt{6+x} =3$
ОДЗ: $6+x \geq 0 \\ x \geq -6$
Произведем замену переменных
Пусть $\sqrt{6+x} =a,\,\,\ \sqrt[3]{3-x}=b$ (a>0), получаем
$\left \{ {{6+x=a^2} \atop {3-x=b^3}} \right.$
a+b=3 - выразим через b
b=3-a
$\left \{ {{6+x=a^2} \atop {3-x=(3-a)^3}} \right.$
Из уравнения 1 выразим переменную х
$\left \{ {{x=a^2-6} \atop {3-x=(3-a)^3}} \right.$
Подставим вместо переменной х найденное выражение
$3-(a^2-6)=(a-3)^3 \\ 3-a^2+6=(a-3)^3 \\ 9-a^2=(a-3)^3 \\ -(a+3)(a-3)+(a-3)^3=0 \\ (a-3)(-a-3+a^2-6a+9)=0 \\ (a-3)(a^2-7a+6)=0 \\ (a-3)(a-1)(a-6)=0$
Откуда а
$a_1=1 \\ a_2=3 \\ a_3=6$
Найдем b
$b_1=3-a_1=3-1=2 \\ b_2=3-a_2=3-3=0 \\ b_3=3-a_3=3-6=-3$
Возвращаемся к замене
$x_1=1^2-6=-5 \\ x_2=3^2-6=3\\ x_3=6^2-6=30$

Сумма корней: $-5+3+30=28$

ответ: 28.