Question

Найти общее решение: 2y'=y^2/x^2+6*y/x+3

Answer 1

$2y'=\dfrac{y^2}{x^2}+6\cdot\dfrac{y}{x}+3$

Это дифференциальное уравнение является однородным. Воспользуемся заменой $y=ux$, тогда дифференцируя обе части, имеем $y'=u'x+u$. Подставляем в исходное уравнение

$2(u'x+u)=\dfrac{u^2x^2}{x^2}+6\cdot\dfrac{ux}{x}+3\\ \\ 2u'x+2u=u^2+6u+3\\ \\ 2u'x=u^2+4u+3$

Получили уравнение с разделяющимися переменными

$2\displaystyle \int\dfrac{du}{u^2+4u+3}=\int\dfrac{dx}{x}~~~\Rightarrow~~~2\int\dfrac{d(u+2)}{(u+2)^2-1}=\int\dfrac{dx}{x}\\ \\ 2\cdot\dfrac{1}{2\cdot1}\ln\bigg|\dfrac{u+2-1}{u+2+1}\bigg|=\ln|x|+\ln C\\ \\ \\ \ln\bigg|\dfrac{u+1}{u+3}\bigg|=\ln\bigg|\dfrac{C}{x}\bigg|~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{u+1}{u+3}=\dfrac{C}{x}$

Сделаем обратную замену: u = y/x, получим

$\dfrac{\frac{y}{x}+1}{\frac{y}{x}+3}=\dfrac{C}{x}~~~\Rightarrow~~~\boxed{\dfrac{y+x}{y+3x}=\dfrac{C}{x}}$

Получили общий интеграл.