Признак делимости на 11:
Заметим, что 10...0 (в числе четное число нулей) дает остаток 1 при делении на 11: например, 1000000 = 1 + 99 99 99, разность между такой степенью десятки и 1 разбивается на группы 99-ок и поэтому делится на 99 (и, соответственно, на 11).
Если в числе 10...0 нечетное число нулей, то оно будет давать остаток 10 при делении на 11: например, 10000000 = 10 + 99 99 99 0, так же и в любой другой степени, разность между числом и 10 будет содержать какое-то количество групп 99-ок и 0, разность делится на 11.
Осталось расписать число в виде суммы разрядных слагаемых:
и заметить, что эта сумма даёт такой же остаток при делении на 11, что и
В первой скобке стоит разность сумм цифр, стоящих на четных и на нечетных местах, второе слагаемое - делится на 11. Чтобы вся сумма делилась на 11, необходимо и достаточно, чтобы разность сумм цифр, стоящих на четных и на нечетных местах, делилась на 11.
Признак делимости на 13:
Число равно 10A + b, A - число, образованное всеми цифрами кроме последней, b - последняя цифра. Утверждается, что если сложить число десятков A с учетверенным числом единиц 4b, то полученная сумма A + 4b делится на 13 тогда же, когда и исходное число. Это следует из того, что (10A + b) + 3(A + 4b) = 13(A + b); если одно слагаемое делится на 13, то и второе обязано делиться на 13, так как вся сумма делится на 13.
2)2^3,2*6^6,3/12^5,2=2^3,2*6^6,3/2^5,2*6^5,2=6^2,1/2^2=3^2,1*2^0,1
3)4^4*3^9:12^4=2^8*3^9/2^8*3^4=3^5=243
4)(2^8)^7:2^57=2^26:2^57=1/2
5)0,08^1/7*5^3/7*10^6/7=2^3/7*5^3/7*10^6/7:10^2/7=10^3/7*10^6/7:10^2/7=10
6)(2^5)^6:2^23=2^30:2^23=2^7=128
7)(36^6)^3:(6^4)^8=6^36:6^32=6^4=1296