Question

Докажите справедливость формулы методом индукции (формула суммы первых n членов прогрессии)

Answer 1

Геометрическая прогрессия
$Sn= b_{1} + b_{1} q + b_{1} q^{2} + ... +b_{1} q^{n}$

Утверждение
$Sn= b_{1} \frac{ q^{n+1}-1}{q-1}$

доказательство  по методу полной математической индукции
1. Утверждение справедливо для n = 1:
$S_{1} = b_{1} + b_{1}q= b_{1} (1+q)$
Утверждение для n=1: $S_{1} = b_{1} \frac{ q^{2}-1}{q-1} = b_{1} \frac{ (q+1)(q-1)}{q-1} = b_{1} (q+1)$
2.
2.1  предполагается справедливость утверждения при любом натуральном n=k
$S_{k} =b_{1} \frac{ q^{k+1} }{q-1}$
2.2  доказывается справедливость утверждения для числа n=k+1
$S_{k+1} = (b_{1} + b_{1}q + b_{1}q^{2}+ ...+ b_{1} q^{k}) + b_{1}q^{k+1} = S_{k} +b_{1}q^{k+1}$

доказательство, что $S_{k+1} =b_{1} \frac{ q^{k+2} }{q-1}$ :

$S_{k+1} = b_{1} \frac{ q^{k+1}-1}{q-1} + b_{1}q^{k+1}$
$\\ = b_{1} \frac{ q^{k+1}-1}{q-1} + b_{1}q^{k+1} \frac{q-1}{q-1} = b_{1} \frac{(q^{k+1}-1) +(q^{k+1}q -q^{k+1}) }{q-1}= b_{1} \frac{q^{k+2}-1}{q-1}$