Прощу прощения за задержку. Разложить на множители, это означает упростить данное выражение. В данном выражении, мы можем увидеть общие множители abc . Можно конечно разложить так:
abc(27a²bc⁴-36ab³c²) - но как можно заметить, выражение в скобках можно упростить тоже. Поэтому не имеет смысла несколько раз упрощать и упрощать. Поступаем так: Находим минимальную степень а, b и с. И получаем, что можно упростить так: Можем так же заметить что 27 и 36 делятся на 9. А значит имеем право упростить еще : Это и будет окончательный ответ. Мы разложили на множители, и если перемножить скобки, получим начальное выражение :)
Если что то не понятно, задайте вопрос в комментарии :)
доказательство
база индукции n=1
2+18+60+...+n(n+1)(2n-1)=2=2
1/6n(n+1)(n+2)(3n-1) =
1/6*1*(1+1)*(1+2)*(3*1-1)=2
утверждение справедливо.
Предположение индукции.
Пусть для n=k>=1
выполняется данное утверждение, т.е.
2+18+60+...+k(k+1)(2k-1)=1/6k(k+1)(k+2)(3k-1)
Индукционный переход. Докажем, что тогда оно выполняется и для
n=k+1:
2+18+60+...+k(k+1)(2k-1)+(k+1)(k+2)(2k+1)=используем предположение=
1/6k(k+1)(k+2)(3k-1)+(k+1)(k+2)(2k+1)=выносим общие множители=
1/6(k+1)(k+2)*(k(3k-1)+6(2k+1))= преобразуем к нужному виду=
1/6(k+1)(k+2)*(3k^2-k+12k+6)=
=1/6(k+1)(k+2)*(3k^2+11k+6)=
=1/6(k+1)(k+2)*(3k^2+2k+9k+6)=
=1/6(k+1)(k+2)*(k(3k+2)+3(3k+2))=
1/6(k+1)(k+2)*(k+3)(3k+2)=
=1/6(k+1)(k+1+1)*(k+1+2)*(3(k+1)-1)
доказано.
по ММИ данное утверждение справделивого для любого натурального n