Question

Пусть p — нечѐтное простое число. докажите, что для некоторой пары различных натуральных чисел m и n имеет место равенство 2/p = 1/n + 1/m, причем такая пара чисел единственна (с точностью до перестановки n и m).

Answer 1

 $\frac{2}{p}=\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\\ p=\frac{2nm}{n+m}$
теперь заметим что слева простое число , а справа четное , отсюда  следует что  $n=p*x\\ m=y$ то есть   один из множителей содержит простое число которое слева 
 $p=\frac{2*px*y}{px+y}\\ 1=\frac{2xy}{px+y}\\ p=\frac{(2x-1)y}{x}\\$
 так как слева простое число , и заметим что  $2x-1$ нечетное число , можно переобозначить $2x-1=u\\ \frac{y}{x}=v\\ p=uv$ то есть одно из чисел равно $1$ и очевидно что это $\frac{y}{x}=1$ ,  откуда $y=x\\ n=px\\ m=x$ 
следовательно это единственное решение 
$2x=1+p\\ 2x-p=1\\ p=2x-1$ верно,  чтд