Question

Найти экстремумы даной функции и обясните как решать подобного рода

Answer 1

$z=-6x^2+y^2-9xy+12$

І. Находим частные производные первого порядка

$z'_{x}=-12x-9y;\\ z'_{y}=2y-9x;$

ІІ. Ищем критические точки

$z'_{x}=0; z'_{y}=0;$

$-12x-9y=0;\\ 2y-9x=0;$

$4x+3y=0;\\ y=4.5x;$

$4x-3*4.5x=0;\\ y=4.5x$

M(0;0)- критическая точка

III. Ищем вторые производные

$z^{''}_{x^2}=-12;\\ z^{''}_{xy}=-9;\\ z^{''}_{y^2}=2$

IV. Находим значение вторых производных в критической точке

$z^{''}_{x^2} (M)=-12;\\ z^{''}_{xy}(M)=-9;\\ z^{''}_{y^2}(M)=2;\\ A=-12; B=-9 ; C=2;\\ A<0; \Delta=AC-B^2=-12*2-(-9)^2=-24-81=-105<0;$

следовательно в точке М экстремумов нет

ответ: данная функция экстремум не имеет