Question

Дана функция y=6x-8x^3. исследовать функцию на экстремум, возрастание и убывание и построить график.

Answer 1

$y=6x-8x^3$
1. Область определения функции
$D(y)=R$ - множество всех действительных чисел
2. Четность функции
y(-x)=y(x) - функция четная
у(-х)=-у(х) - нечетная
$y(-x)=6(-x)-8(-x)^3=-6x+8x^3=-(6x-8x^3)=-y(x)$
3. Точки пересечения с осью Ох и Оу
 3.1. С осью Ох
$6x-8x^3=0 \\ 2x(3-4x^2)=0 \\ x_1=0;\,\,\,\,\,x_2= \frac{ \sqrt{3} }{2} ;\,\,\,\,\,x_3=-\frac{ \sqrt{3} }{2}$
$(0;0),(\frac{ \sqrt{3} }{2};0),(-\frac{ \sqrt{3} }{2};0)$- точки пересечения с осью Ох
 3.2. С осью Оу
$y=0 \\ x=0$
$(0;0)$ - точки пересечения с осью Оу
Функция нечетная...........
4. Точки экстремумы, возрастание и убывание
 4.1 Первая производная
$y'=(6x)'-(8x^3)'=6-24x^2$
4.2. Точки экстремумы
$y'=0 \\ 6-24x^2=0 \\ x=\pm0.5$
4.3 Возрастание и убывание функции

_____-____(-0,5)____+___(0,5)___-_____>
Итак, функция убывает на промежутке $(-\infty;-0.5)\cup(0.5;+\infty)$, возрастает на промежутке $(-0.5;0.5)$. В точке х=-0,5 функия имеет локальный минимум, а в точке х=0,5 - локальный максимум
5. Точки перегиба
 5.1. Вторая производная
$y''=-48x$
Приравняем к нулю
$-48x=0 \\ x=0$

___+___(0)___-____>
(-∞;0) вогнута вверх, а (0;+∞) - вогнута вниз

Вертикальные асимптоты нет
Горизонтальных асимптот нет
Наклонных асимптот нет

График смотрите во вложении