Question

Точка а, симметричная точке b(6; 2) относительно прямой у=х+1, какие координаты имеет точка а?

Answer 1

Точка А, симметричная точке В относительно прямой  у=х+1, лежит на перпендикуляре, опущенном из точки В на прямую  у=х+1 на расстоянии, равном расстоянию от точки B  до прямой  у=х+1.
Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки В: $y-y_0=k(x-x_0)$ .
Угловой коэффициент k=-1, так как угловой коэффициент прямой  у=х+1 равен
 $k_1=1$ . (Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением  $k_1=-\frac{1}{k_2}$ )

    $y-2=-1\cdot (x-6)\\\\y=-x+8$

Точка C - точка пересечения перпендикулярных прямых.Её координаты найдём из системы:

 $\left \{ {{y=x+1} \atop {y=-x+8}} \right.$ .

$x+1=-x+8\\\\2x=7,\; \; x=\frac{7}{2},\; y=\frac{7}{2}+1=\frac{9}{2}\; \Rightarrow \; \; C(\frac{7}{2},\frac{9}{2})$

Точка С является серединой отрезка АВ.Её координаты находятся по формуле

$x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2},y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\\\\x_{A}=2x_{C}-x_{B}=7-6=1\\\\y_{A}=2y_{C}-y_{B}=9-2=7\\\\A(1,7)$