Найдите первообразную F(x) для функции f(x) = 2 + sin4x ,
если F(π/4) = -3π . В ответе укажите F(7π/4) .
F(x) = ∫f(x)dx =∫( 2 + sin4x)dx =∫2dx + ∫sin4xdx =∫2dx +(1/4)∫sin4xd(4x) =
= 2x - cos(4x) / 4 + C .
F(x) = 2x - 0,25cos(4x) + C ( семейство первообразных ) Определим постоянной С используя условие : F(π/4) = - 3π
F(π/4) =2*π/4 - 0,25cos(4*π/4) +C=0,5π +0,25cos(π) + C
- 3π = 0,5π + 0,25 + C ⇒ C = - 3,5π - 0,25
F(x) = 2x - 0,25cos(4x) - 3,5π - 0,25 .
F(7π/4) = 2*(7π/4) - 0,25cos(4*(7π/4)) - 3,5π - 0,25 =
= 3,5π - 0,25cos(7π) - 3,5π - 0,25 = 0
ответ: 0
* * * P.S. F(7π/4) можно получить другим
F(7π/4) - F(π/4) = 2*(7π/4) - 0,25cos(4*(7π/4)) - 2*π/4 + 0,25cos(4*(π/4)) = 3,5π - 0,25cos(7π) - 0,5π + 0,25cos(π) =3π
F(7π/4) = F(π/4) + 3π = - 3π + 3π = 0
y'=-3/2sin3x>0
sin3x<0
П+2Пk<3x<2П+2Пk
П(2k+1)<3x<2П(k+1)
П/3(2k+1)<x<2П/3(k+1)