Даны векторы а(1;-4;4) и b(1;4;3).
Их векторное произведение равно:
i j k| i j
1 -4 4| 1 -4
1 4 3| 1 4 = -12i + 4j + 4k - 3j - 16i + 4k =
= -28i + 1j + 8k = (-28; 1; 8).
Модуль равен √(784+1+64) = √849 ≈ 29,1376.
Скалярное произведение равно 1-16+12 = -3.
Модули векторов |a| = √(1+16+16) = √33, |b| = √(1+16+9) = √26.
cos (a_b) = -3/(√33*√26) = -3/√858 ≈ -3/29,2916 ≈ -0,10242.
Угол равен 1,6734 радиан или 95,8784 градуса.
Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
(-28; 1; 8) * с(а, 2, 3) = 0
-28а + 2 +24 = 0,
-28а = -26
а = -26/-28 = 13/14.
32 (км/час) скорость лодки в неподвижной воде.
Объяснение:
Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Формула движения: S=v*t
S - расстояние v - скорость t – время
х - скорость лодки в неподвижной воде.
(х+4) - скорость лодки по течению.
(х-4) - скорость лодки против течения.
S плота -36 км.
v плота - 4 км/час.
t плота - 36/4=9 (часов).
9-1=8 (часов) - время лодки на путь по течению и против.
S лодки -126 км по течению и 126 км против течения.
По условию задачи составляем уравнение:
126/(х+4) + 126/(х-4)=8
Общий знаменатель (х-4)(х+4), надписываем над числителями дополнительные множители, избавляемся от дроби:
126*(х-4) + 126*(х+4)=8(х²-16)
Раскрыть скобки:
126х-504+126х+504=8х²-128
Приводим подобные члены:
-8х²+252х+128=0/-1
8х²-252х-128=0
Разделим уравнение на 8 для упрощения:
х²-31,5х-16=0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 992,25+64=1056,25 √D= 32,5
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(31,5-32,5)/2
х₁= -0,5, отбрасываем, как отрицательный.
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(31,5+32,5)/2
х₂=64/2
х₂=32 (км/час) скорость лодки в неподвижной воде.
Проверка:
126/36=3,5 (часа) время лодки по течению.
126/28=4,5 (часа) время лодки против течения.
3,5+4,5=8 (часов), всё верно.
