Умастера по заточке коньков 48 пар после того как он за 15 минут наточил одну пятую тупых коньков , кол-во тупых и острых коньков совпало. сколько коньков наточил мастер? сколько острых коньков было первоначально? сколько времени осталось работать мастеру?
Такое уравнение называется возвратным. Оно может быть решено сведением к однородному уравнению. Итак, начинаем:
Для облегчения понимания можно уравнение поделить на , естественно, убедившись перед этим, что и сделав замену Получившееся квадратное уравнение имеет два действительных, но противных корня, которые даже лень выписывать. Обозначим эти корни через p и q, для поиска x получаем два уравнения корни которых очевидно действительны и различны. Мы сделали самое сложное - доказали, что все корни нашего уравнения действительны (и, кстати, различны - это я говорю на тот случай, если кто-то не привык кратные корни подсчитывать, учитывая их кратность). Теперь, не вычисляя эти гадкие корни, воспользуемся теоремой Виета для многочлена 4-й степени, которая утверждает, что корни этого многочлена удовлетворяют следующим условиям (я буду их выписывать в упрощенном виде, используя то, что у нас старший коэффициент равен 1):
для многочлена
Нам потребуются первые два равенства; остальные я написал для коллекции. Имеем:
(x-a)(x²-10x+9)=0 (x-a)(x-1)(x-9)=0 x₁=a; x₂=1; x₃=9 - корни уравнения Составим из полученных корней все возможные последовательности: 1) 1, 9, а 2) 1, а, 9 3) а, 1, 9 4) а, 9, 1 5) 9, а, 1 6) 9, 1, а Получено 6 последовательностей. Убираем убывающие (4), (5), (6). Получили три возрастающих последовательности. Известно, что это арифметические прогрессии. Находим значение а в каждой из них: 1) 1, 9, а d=9-1=8 => a=9+8=17 2) 1, a, 9 a=(1+9)/2=10/2=5 3) a, 1, 9 d=9-1=8 a=1-8=-7 Итак, а равны 17, 5 и -7
x²-10x+9=0 Корни уравнения находим по теореме Виета: x₁*x₂=9 и x₁+x₂=10 => x₁=1, x₂=9 (x₁<x₂)
, естественно, убедившись перед этим, что 
и сделав замену 
Получившееся квадратное уравнение имеет два действительных, но противных корня, которые даже лень выписывать. Обозначим эти корни через p и q, 
для поиска x получаем два уравнения 
количество тупых было = у (пар)
составим систему уравнений:
х+у=48
у-1/5у=х=1/5у
х=48-у
4/5у=48-у=1/5e
решим 4/5у=48-у+1/5у
0,8у=48-0,8у
1,6у=48
у = 30, вернемся к системе уравнений:
х=48-у
х=18 (было острых) у=30(пар коньков было тупых)
30*1/5=6(пар) - коньков мастер наточил
30-6/6*15=4*15=60(минут) = 1(час)- осталось работать мастеру