Question

Найдите все целые и положительные числа x и y удовлетворяющие уравнению y^3=x^3+9x^2+17

Answer 1

Воспользуемся тем что $y^3$  куб числа по модулю $3$ (остатки от деления) сравнимы с $0;1;2$ соответственно когда $y=3n\\ y \neq 3n\\ y=3n+5$ , где $n \in N$ .  
По тому же принципу справа  $x^3+9x^2+17$  $x^3$ так же как 
$y$,$9x^2$ дает остаток $0$, число $17\equiv 2\ mod (3)$, то есть остаток числа $9x^2+17$ равен $2$ при делений на $3$ .$y^3=x^3+(9x^2+17)\\$ 
рассмотрим случаи , когда $y=3n\\$  слева остаток всегда равен $0$ , но справа уже не может поэтому $y \neq 3n$           
рассмотрим случаи когда  $y \neq 3n$,  слева остаток при делений на $3$ как ранее был сказан равен $1$ , но  тогда справа должно быть число дающее $4$, а оно  дает при делений на $3$ остаток $1$ отсюда $x \neq 3z$ подходит 
$y=3$
$x=1$ 
Далее можно проделать такую же операцию с $y=3n+5$  , но оно так же  не действительно , то есть решение $x=1;y=3$