Question

Решить систему уравнений методом крамера: х - 2у - 3z = -4 4х + у + 2у = 13 2х + 5у + z = -7

Answer 1

Найдем определитель матрицы:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1&-2&-3\\4&1&2\\2&5&1\end{array}\right]$

$det(A)=\sum_{j=1}^{n}a_i_jA_i_j$

где $A_i_j$

соответствующее алгебраическое дополнение

$A_i_j=(-1)^{i+j}M_i_j$

$M_i_j$ - минор матрицы А(получается удалением соответствующего столбца и строки)

$det(A)=1*\left|\begin{array}{ccc}1&2\\5&1\end{array}\right|-(-2)*\left|\begin{array}{ccc}4&2\\2&1\end{array}\right|-3*\left|\begin{array}{ccc}4&1\\2&5\end{array}\right|=1*(1*1-2*5)+2*(4*1-2*2)-3*(4*5-1*2)=-63$

Построим матрицу $A_1$,такую,что первый столбец будет заменен на столбец из свободных членов.

$A_1=\left[\begin{array}{ccc}-4&-2&-3\\13&1&2\\-7&5&1\end{array}\right]$

$det(A_1)=-4*\left|\begin{array}{ccc}1&2\\5&1\end{array}\right|-(-2)*\left|\begin{array}{ccc}13&-7\\2&1\end{array}\right-3*\left|\begin{array}{ccc}13&-7\\1&5\end{array}\right|=-4*(1*1-2*5)+2*(13*1-(-7)*2)-3(13*5-(-7)*1)=-126$

Построим матрицу $A_2$,такую,что второй столбец будет заменен на столбец из свободных членов.

$A_2=\left[\begin{array}{ccc}1&-4&-3\\4&13&2\\2&-7&1\end{array}\right]$

$det(A_2)=1*\left|\begin{array}{ccc}13&2\\-7&1\end{array}\right|-(-4)*\left|\begin{array}{ccc}4&2\\2&1\end{array}\right|-3*\left|\begin{array}{ccc}4&13\\2&-7\end{array}\right|=1*(13*1-(-7)*2)+4*(4*1-2*2)-3*(4*(-7)-13*2)=189$

Построим матрицу $A_3$,такую,что третий столбец будет заменен на столбец из свободных членов.

$A_3=\left[\begin{array}{ccc}1&-2&-4\\4&1&13\\2&5&-7\end{array}\right]$

$det(A_3)=1*\left|\begin{array}{ccc}1&13\\5&-7\end{array}\right|-(-2)*\left|\begin{array}{ccc}4&13\\2&-7\end{array}\right|-4*\left|\begin{array}{ccc}4&1\\2&5\end{array}\right|=1*(1*(-7)-13*5)+2*(4*(-7)-13*2)-4*(4*5-1*2)=-252$

Согласну методу Крамера:

$x=\frac{det(A_1)}{det(A)};y=\frac{det(A_2)}{det(A)};z=\frac{det(A_3)}{det(A)}$

$x=\frac{-126}{-63}=2;y=\frac{189}{-63}=-3;z=\frac{-252}{-63}=4$