Question

Найдите наибольшее значение функции: y=(x^2-21x+21)e^21-x на отрезке [20; 23]

Answer 1

Найдите наибольшее значение функции: 
$y = (x^2-21x+21)*e^{21-x}$
на отрезке [20;23]

Найдем производную функции
$y' = [(x^2-21x+21)*e^{21-x}]' = \\ \\ = (x^2-21x+21)' * e^{21-x} + (x^2-21x+21)*(e^{21-x})' = \\ \\ = (2x-21) * e^{21-x} - (x^2-21x+21)*e^{21-x} = \\ \\ = (-x^2-+23x-42)*e^{21-x}$

Найдем экстремумы функции, для этого найдем y' = 0

$(-x^2-+23x-42)*e^{21-x} = 0$

где $e^{21-x} \neq 0$

Тогда
$-x^2-+23x-42 = 0 \\ \\ x_1 = 2 \ ; \ x_2 =21$

x1 - не принадлежит отрезке [20;23]

тогда найдем знак производной лева и справа от точки экстремума х=21

$x \ \textless \ 21 \ ; \ y'(x) \ \textgreater \ 0$  - функция возрастает

$x \ \textgreater \ 21 \ ; \ y'(x) \ \textless \ 0$  - функция убывает

Таким образом производная меняем знак с "+" на "-" , то х=21 - точка максимума.

Найдем наибольшее значение функции на отрезке [20;23]

$y(21) = (21^2-21*21 + 21)*e^{21-21} = 21 * e^0 = 21$

ответ: у = 21

Answer 2

Давайте разберемся с этим вопросом пошагово.

1. Сначала заметим, что функция y является произведением двух функций: f(x) = (x^2 - 21x + 21) и g(x) = e^(21 - x).
Для нахождения наибольшего значения функции y, нам необходимо найти максимум одной из этих функций (f(x) или g(x)),
так как произведение положительного значения на максимальное значение будет самым большим.

2. Для начала, найдем максимум функции f(x).
Для этого используем метод дифференцирования и приравняем производную функции f(x) к нулю:

f'(x) = 2x - 21 = 0

Решив это уравнение, мы найдем значение x, которое соответствует экстремуму функции f(x):

2x - 21 = 0
2x = 21
x = 21/2 = 10.5

Таким образом, экстремум функции f(x) находится при x = 10.5.

3. Теперь нужно проверить, является ли это значение экстремума функции максимумом или минимумом.
Для этого возьмем вторую производную f''(x) и посмотрим ее знак:

f''(x) = 2

Поскольку вторая производная положительная для всех x, это означает, что экстремум является минимумом.

4. Теперь найдем наибольшее значение функции f(x) на заданном интервале [20, 23].
Мы уже знаем, что экстремум функции находится при x = 10.5, но это значение находится вне заданного интервала.

Однако, для нашего случая, у нас есть интересная особенность. Функция f(x) - парабола, которая открывается вниз.
Таким образом, на интервале [20, 23] функция f(x) будет монотонно убывать.

Таким образом, максимальное значение функции f(x) на интервале [20, 23] будет достигаться на его правом конце, при x = 23.

Подставим это значение x в функцию f(x):

f(23) = (23^2 - 21*23 + 21) = (529 - 483 + 21) = 67

5. Теперь найдем максимальное значение функции y на интервале [20, 23].
Мы уже знаем, что максимальное значение будет достигаться при x = 23.
Подставим данное значение в функцию g(x):

g(23) = e^(21 - 23) = e^(-2)

Таким образом, максимальное значение функции y на интервале [20, 23] будет:

y = f(23) * g(23) = 67 * e^(-2)

Таким образом, искомое наибольшее значение функции y на отрезке [20, 23] равно 67 * e^(-2).