Question

Решите уравнение: -5sin 2x - 16(sinx-cosx) + 8 = 0

Answer 1

$-5\sin2x-16(\sin x-\cos x)+8=0\\-5\sin2x-16(\sin x-\cos x)+8\cdot 1=0\\-5\sin2x-16(\sin x-\cos x)+8(1-\sin2x+\sin2x)=0\\8(\sin x-\cos x)^2-16(\sin x-\cos x)+3\sin2x=0$

Пусть $\sin x-\cos x=t$ при этом $|t|\leq \sqrt{2}$, тогда, возведя в квадрат обе части равенства, получим $1-\sin 2x=t^2~~\Rightarrow~~ \sin2x=1-t^2$

$8t^2-16t+3(1-t^2)=0\\8t^2-16t+3-3t^2=0\\5t^2-16t+3=0\\D=(-16)^2-4\cdot5\cdot 3=196$

$t_1=\dfrac{16+14}{10}=3$ не удовлетворяет условию при |t|≤√2

$t_2=\dfrac{16-14}{10}=\dfrac{1}{5}$

Возвращаемся к обратной замене

$\sin x-\cos x=\dfrac{1}{5}\\\sqrt{2}\sin\bigg(x-\dfrac{\pi}{4}\bigg)=\dfrac{1}{5}\\\\\boxed{x=(-1)^k\cdot \arcsin\dfrac{1}{5\sqrt{2}}+\dfrac{\pi}{4}+\pi k,k \in\mathbb{Z}}$