Question

Вычислите определенный интеграл: а) интеграл на промежутке от 0 до пи (3х+2)sinxdx б) интеграл на промежутке от 0 до 1/(деленное) на корень из 2 arccos^3 x-1 делить на (под корнем) 1-x^2

Answer 1

А) $\int\limits^ \pi _0 {(3x+2)sinx} \, dx$
Интегрируем по частям
$u=3x+2;$              $du=3dx$
$dv=sinxdx;$           $v=-cosx$
$\int\limits^ \pi _0 {(3x+2)sinx} \, dx=-cosx(3x+2)+3\int\limits^ \pi _0 {cosx} \, dx=$
$=(-cosx(3x+2)+3sinx) \mid^ \pi _0=$
$=(-cos \pi (3 \pi +2)+3sin \pi )-(-cos0(3*0+2)+3sin0)=$
$=(-(-1) (3 \pi +2)+0)-(-1*2+0)=3 \pi +2+2=3 \pi +4;$
б)   $= \int\limits^{ \frac{1}{ \sqrt{2}}}_0 { \frac{arccos^3x-1}{ \sqrt{1- x^{2}}}} \, dx=\int\limits^{ \frac{1}{ \sqrt{2}}}_0 {(arccos^3x-1)} \, d{(arccosx)}=$
$=(\frac{arccos^4x}{4}-arccosx) \mid^{ \frac{1}{ \sqrt{2}}}_0=$
$=(\frac{arccos^4(\frac{1}{ \sqrt{2}})}{4}-arccos(\frac{1}{ \sqrt{2}}))-(\frac{arccos^4*0}{4}-arccos0)=$
$=(\frac{ \pi ^4}{4^5}- \frac{ \pi }{4})-(\frac{ \pi ^4}{4*2^4}- \frac{ \pi }{2})=\frac{ \pi ^4}{2^{10}}- \frac{ \pi }{4}-\frac{ \pi ^4}{2^6}+\frac{ \pi }{2}=\frac{ \pi ^4}{2^{10}}-\frac{ \pi ^4}{2^6}+\frac{ \pi }{4}.$